1.Математическое ожидание случайной величины. Свойство математического ожидания.
Математическим ожиданием случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений умноженное на их вероятности
М(Х)=х1р1 + х2р2 +…+хn рn
Свойства математического ожидания
1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.М(С)=С
2.постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.М(СХ)=С*М(Х)
3.Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.М(ХУ)=М(Х)*М(У)
4.математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых М(Х+У)=М(Х)+М(У)
2.Сравнение эмпирических и теоретических распределений, выравнивание эмпирического распределения.
Эмпирической функцией распределения называют ф-ию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х<x
F*(x)=nx/n ,где nx - число вариант, меньших х, n - объем выборки.
В отличие от эмпирической функции распределения выборки ф-ию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической ф-ей распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая ф-ия F(x) определяет вероятность события Х<x, а эмпирическая ф-ия F*(x) определяет относительную частоту этого же события. При больших n числа F*(x) и F(x) мало отличаются одно от другого, что
(ε>0)
Из определения ф-ии F*(x) вытекают св-ва
1).Значение эмпирической ф-ии принадлежит отрезку [0,1].
2).если х1 – наименьшая варианта ,то F*(x)=0 при х≤х1, если хk – наибольшая варианта, то F*(x)=1 при x> хk
Эмпирическая ф-ия распределения выборки служит для оценки теоретической ф-ии распределения генеральной совокупности.
2.Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.
Пусть генеральные совокупности Х и У распределены нормально. По независимым выборкам с объемами n1 и n2 найдены исправленные выборочные дисперсии S2x и S2y .
Требуется проверить нулевую гипотезу о том, что генеральные дисперсии равны между собой H0 =D(X)=D(Y), учитывая, что исправленные дисперсии являются несмещёнными оценками генеральных дисперсий М [S2x]=D(X), М [S2y ]=D(Y). Нулевую гипотезу можно записать H0 - М [S2x]= М [S2y ]. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий примем отношение большой отношение большей исправленной дисперсии к меньшей F= S2б / S2м
1).Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H0 D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе H1 - D(X)>D(Y), надо вычислить отношение большей исправленной дисперсии к меньшей Fнабл= S2б / S2м и по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора, по заданному уровню значимости α и числам степеней свободы k1,k2 найти критическую точку Fнабл (α, k1,k2), если Fнабл < Fкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, если Fнабл > Fкр – нулевую гипотезу отвергают.
2).При конкурирующей гипотезе H1- D(X)≠D(Y) надо вычислить отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т.е. Fнабл= S2б / S2м и по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости α/2 и числам степеней свободы k1 и k2 найти критическую точку Fкр (α/2, k1,k2), если Fнабл < Fкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, если Fнабл > Fкр – нулевую гипотезу отвергают.
Билет 10