1. Теоремы умножения вероятностей. Теоремы сложения вероятностей.

Суммой А+В событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А или В или обоих этих событий А+В.

Суммой нескольких событий называют событие состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пусть А и В несовместные события с известными вероятностями. Как найти вероятность того, что наступит либо событие А либо событие В. Ответ дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Доказательство

m₁-A m₂-B n

Р(А+В)= (m₁₊ m₂)/n= m₁/n+ m₂/n=Р(А)+Р(В)

Теорема. Сумма вероятностей событий а1,а2…аn, образующих полную группу равна 1.

а1+а2+…+аn=1

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Р(А)=1-Р(Ã)

Теорема сложения вероятностей в общем виде (для любых событий).

Вероятность суммы 2х событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятностей их совместного появления.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Произведением 2х событий А и В называют событие С состоящее в совместном появлении и А и В.

Произведением нескольких событий – событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Теорема умножения. Вероятность появления 2х событий равна вероятности одного из них, умноженная на условную вероятность 2ого при наличии первого.

Р(АВ)=Р(А)Р_А(В)

Для независимых событий Р(АВ)=Р(А)*Р(В)

Для трех событий Р(АВС)=Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С)

2.Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий согласия Пирсона.

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производится при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Критерий согласия – формализованная процедура сравнения, позволяющая оценить вероятность того, что исследуемый закон распределения не противоречит сделанному предположению о возможности его представления тем или иным видам закона распределения. Для этого выбирается некоторая величина χ, являющаяся мерой расхождения исследуемого и теоретического закона распределения и определяется χ_α , чтобы Р(А)=α, т.е. Р(χ ≥χ_α )=α. Где α – достаточно малая величина, значения которой устанавливаются в соответствии с задачей.

Если χ < χ_α , то отклонение от теоретического закона распределения считается значимым и предположение о виде закона распределения должно быть отвергнуто, если χ < χ_α , то незначимое отклонение, т.е. исследуемый закон не противоречит предположению о виде.

χ²_q= - критерий Пирсона, где

j – число групп выборок

n – объем выборки

n_i – эмпирические частоты (наблюдаемые)

n`_i – теоретические частоты (вычисляемые в предположении нормального распределения)

Билет № 7.

1.Числовые характеристики случайных величин. Начальные и центральные моменты. Асимметрия и эксцесс.

Числовые характеристики случайной величины – числа, которые описывают случайную величину суммарно. К числу важных числовых характеристик относятся математическое ожидание – сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности

М(Х)=х1р1 + х2р2 +…+х_n р_n

Чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются также числовой хар-кой – дисперсией (математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания D(X)= M[X-M(X)]²).

Для описания системы двух случайных величин также используют другие характеристики

Корреляционный момент (математическое ожидание произведения отклонений этих величин μ_xy=M{[X-M(X)][Y-M(Y)]}) и коэф-т корреляции (отношение корреляционного момента к произведению средн.квадр. отклонений этих величин r_xy= μ_xy/σ_x*σ_y

Начальным моментом к-го порядка случайной величины Х называют математическое ожидание к-й степени этой случайной величины

v_k=M[X^k]

Для дискретной и непрерывной случайной величины v_k [X] вычисляются по формулам соответственно

v_k [X]=∑x^k_i p_i

v_k [X]=∫x^k f(x)dx

Центральным моментом к-го порядка случайной величины Х называют математическое ожидание величины [Х-М(Х)]^к

μ_к=М[Х-М(Х)]^к

Математическое ожидание случайной величины Х если ее первый начальный момент, а дисперсия – второй центральный.

М[Х]=ν₁[Х] D[Х]=μ₂ [Х]

Асимметрией теоретического распределения называют отклонение центрального момента среднего порядка.

А=μ₃/σ³ А>0 где μ₃ – центральный статистический момент третьего порядка

μ₃=∑(x_i – X)³ * m_i /n

Если распределение симметричное то А=0

Эксцесс – величина оцениваемая равенством Е=(μ₄/σ⁴)-3 Е для нормального распределения = 3.

μ₄ – центральный статистический момент четвертого порядка

μ₄=∑(x_i – X)⁴ * m_i /n

Если Е>0 то кривая имеет более высокую и острую вершину

Если Е< 0 то кривая имеет более низкую и плоскую вершину.

Билет № 8.