- •Предмет и основные определения теории вероятностей. Предмет и основные задачи математической статистики.
- •Доверительные интервалы для математического ожидания случайной величины X. Имеющей нормальное распределение при неизвестном σ.
- •Статистическое определение вероятности, его особенности и связь с классическим определением.
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий согласия Пирсона.
- •Классическое определение вероятности. Свойства вероятности, вытекающие из классического определения. Примеры.
- •Зависимые и независимые св. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Коррелированность и независимость.
- •1.Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
- •2.Вариационный ряд выборки и эмпирическая функция распределения.
- •Теоремы умножения вероятностей. Теоремы сложения вероятностей.
- •2.Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий согласия Пирсона.
- •1.Числовые характеристики случайных величин. Начальные и центральные моменты. Асимметрия и эксцесс.
- •1.Математическое ожидание случайной величины. Свойство математического ожидания.
- •2.Сравнение эмпирических и теоретических распределений, выравнивание эмпирического распределения.
- •2.Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.
- •1.Биномиальное распределение. Наивероятнейшее число наступления событий
- •2.Статистическая проверка гипотез. Статистическая гипотеза: нулевая и альтернативная, параметрическая и непараметрическая, простая и сложная. Ошибки 1 и 2 рода.
- •1.Равномерное распределение. Определение константы, математического ожидания, дисперсии.
- •2.Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки.
- •1.Распределение Пуассона.
- •2.Статистические оценки параметров распределения (сущность теории оценивания): несмещенность, состоятельность, эффективность оценок.
- •1.Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Свойства дисперсии.
- •2.Доверительные интервалы для оценки математического ожидания случайной величины х, имеющей нормальное распределение при неизвестном среднем квадратичном отклонении
- •Нормальное распределение. Плотность нормального распределения и ее свойства. Нормированное (стандартное) нормальное распределение.
- •Интегральные оценки. Точность оценки. Доверительная вероятность.
- •1. Непрерывные случайные величины. Дифференциальная и интегральная функции их распределения, их смысл и связь между ними.
- •2. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания случайной величины X, имеющей нормальное распределение при известном среднем квадратическом отклонении.
- •Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Вероятность того что непрерывная случайная величина примет точное наперед заданное значение.
- •Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма распределения.
- •1. Вероятность попадания нормально распределенной св в заданный интервал. Вероятность заданного отклонения нормальной св от своего математ.Ожидания. Правило трех сигм
- •2.Точечная оценка генеральной дисперсии. «Исправленные» выборочная дисперсия и среднее квадратичное отклонение
- •1.Закон больших чисел. Понятие о теореме Чебышева. Значение теоремы Чебышева. Теорема Бернулли
- •2.Точечная оценка генеральной средней по выборочной средней
- •Зависимые и независимые события. Условные и безусловные вероятности.
- •1.Законы распределения Хи-квадрат, Стьюдента, Фишера
- •2.Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях. Генеральная совокупность и выборка. Сущность выборочного метода
- •1.Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа.
- •2.Статистические оценки параметров распределения (сущность теории оценивания): несмещенность, состоятельность, эффективность оценок.
- •1. Функция распределения вероятности случайной величины, её свойства. Плотность распределения вероятности и её свойства.
- •2. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания случайной величины X, имеющей нормальное распределение при известном среднем квадратическом отклонении.
- •1. Вариационный ряд. Накопленные частоты (частности). Числовые
- •2.Моменты (начальные и центральные). Показатели асимметрии и эксцесса.
- •1.Вариационный ряд. Показатели изменчивости: вариационный размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, коэффициент вариации.
- •2.Доверительные интервалы для оценки математического ожидания случайной величины X, имеющей нормальное распределение при неизвестном параметре σ.
1.Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
Пусть есть полная группа несовместных событий В1,В2,…Вn и событие А может наступить при условии появления 1ого из этих событий.
Пусть известна вероятность Р(Вi) и условие вероятности РВi(А) событие А. Как найти вероятность события А?
ТЕОРЕМА. Вероятность события А, которая может наступить лишь при условии появления 1ого из несовместных событий (В1,В2,…Вn), образующих полную группу, равна сумме вероятностей произведения вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.
Р(А)=Р(В1)*РВ1(А)+Р(В2)*РВ2(А)+…+РBn(А)
Док-во.
Появление события А означает осуществление одного из несовместных событий В1А, В2А…ВnА. По теореме сложения
Р(А)= Р(В1А)+Р( В2А)+Р( ВnА) (1)
Для каждого из слагаемых
Р(В1А)= Р(В1) *РВ1(А)
Р( В2А)= Р(В2)*РВ2(А) …
Далее подставляем в ф-лу (1) и получаем ф-лу полной вероятности
Пусть будут те же условия т.е. событие А может наступить при условии появления одного из Вi ,образующих полную группу несовместных событий.
Поскольку неизвестно заранее какое событие произойдет их называют гипотезами.
Пусть произведено испытание в результате которого появилось событие А. Как изменится вероятность гипотез в связи с тем, что событие А уже наступило.
Эти задачи решаются по ф-ле Бейеса.
РА(В1)=Р(В1)*РВ1(А)/ Р(В1)*РВ1(А)+Р(В2)*РВ2(А)+…+РBn(А)
Точно также выглядят ф-лы для условной вероятности остальных гипотез.
Они позволяют переоценить вероятность гипотез после того, как становиться известно вероятность испытаний в итоге которого появилось событие А.
2.Вариационный ряд выборки и эмпирическая функция распределения.
Генеральной совокупностью называют всю совокупность однородных объектов, которую изучают относительно некоторого количественного или качественного признака, характеризующего эти объекты.
Выборочной совокупностью, или выборкой, называют совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности.
Повторной называют выборку. При которой отобранный объект (перед выбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральной совокупности не возвращается.
Репрезентативной называют выборку, которая верно представляет пропорции генеральной совокупности.
Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака Х из генеральной совокупности извлечена выборка χ1,χ2,…χn объема n. Наблюдавшиеся значения χi признака Х называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, - вариационным рядом.
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х<х
F*(x)=nx /n, где nx - число вариант меньших х, n – объем выборки.
При больших n F*(x)≈F(x), или
Lim p[│F(x)-F*(x)│<ε]=1, ε>0.
Свойства эмпирической функции распределения
1.значения эмпирической ф-ии принадлежат отрезку [0,1]
2.F*(x) – неубывающая функция.
3.если x1- наименьшая варианта, а хk - наибольшая, то F*(x)=0 при x≤x1 и F*(x)=1 при х>xk
Билет № 6.