1. Функция распределения вероятности случайной величины, её свойства. Плотность распределения вероятности и её свойства.

Функция распределения вероятности с/в (интрегральная ф-ия, интегральная ф-ия распределения)– функция F(x), определяющая вероятность того, что с/в Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

F(x)=P(X<x)

Свойства функции распределения:

• Значение функции распределения принадлежит промежутку [0;1] – из определения вероятности; 0≤F(x)≤1;

• F(x) – неубывающая функция, т.е., если х2>x1, то F(x₁)≤F(x₂);

• Если возможное значение с/в принадлежит интервалу (a,b), то: 1). F(x)=0 при x≤a; 2) F(x)=1 при x≥b.

Плотность распределения вероятности непрерывной с/в (плотность распределения, дифференциальная функция распределения) – функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

f(x)=F′(x).

Свойства плотности распределения:

• Плотность распределения – неотрицательная функция, т.е. f(x)≥0;

• Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до +∞ равен 1:

2. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания случайной величины X, имеющей нормальное распределение при известном среднем квадратическом отклонении.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью γ покрывает заданный параметр.

Заданы генеральная совокупность с нормальным распределением признака Х. Причём среднее квадратическое σ(х) известно. Требуется оценить, в смысле интервальной оценки, неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней . Т.е. мы должны найти доверительный интервал, покрывающий параметр с надежностью γ.

Можно рассматривать выборочную среднюю как с/в и выборочные значения (элементы выборки признака х₁, х₂, х₃..x_n) как одинаково распределенные случайные величины Х₁, Х₂, Х₃..Х_n, т.е. математическое ожидание каждой из этих величин равно а, а среднее квадратическое равно σ.

Будем считать, что если с/в Х распределена нормально, то выборочное среднее , найденной по независимым наблюдениям, также распределено нормально.

А параметры распределения мы уже находили: М( )=а, D( )=D/n, σ( )=σ/√n.

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение:

Решение:

Вместо σ и Х подставляем σ/√n и :

->

С надежностью γ доверительный интервал покрывает неизвестный параметр а. Точность оценки

Экзаменационный билет № 21

1. Вариационный ряд. Накопленные частоты (частности). Числовые

характеристики вариационного ряда. Средняя арифметическая и ее свойства, мода и медиана.

Пускай из генеральной совокупности была осуществлена выборка и получены следующие значения:

х1	n1
х2	n2
xi	ni

∑ n_i=n – объём выборки

Наблюдаемые значения x_i – это варианты. Ряд x_i, выстроенный по возрастанию – это вариационный ряд.

n_i – частоты. w_i=n_i/n – относительная частота.

Статистическое распределение выборки – это соответствие вариантов их частотам или относительным частотам, т.е. это аналог закона распределения дискретной с/в в теории вероятности.

Мода (М₀) – варианта, которая имеет наибольшую частоту. Пр.:

Варианта	1	4	5	7
Частота:	3	8	16	6

М₀=5

Медиана (m_e) - варианта, которая делит вариационный ряд на две равные по количеству вариант части. Если число вариант нечётно, т.е. n=2R+1, то m_e=x_R+1; при чётном n=2R – m_e=(x_R+x_R+1)/2. Пр.:

Для ряда	1	2	3	4	5	6	7	8	Me=4.5
Для ряда	1	2	3	4	5	6	7		Me=4

Средняя арифметическая - сумма произведений значений вариантов x_j и соответствующих им частот (mx_j, wx_j), деленная на количество значений признака n.

,          

Средняя арифметическая - это среднее слагаемое, при ее вычислении общий объем признака как бы поровну распределяется между всеми единицами совокупности. Различают: генеральная средняя и выборочная средняя. Генеральная средняя - среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Выборочная средняя - среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Свойства средней арифметической:

1) Сумма отклонений значений признака X от средней арифметической равна нулю.

2) Если веса (частоты) каждого значения признака X умножить или разделить на постоянное число, то средняя не изменится.

3) Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то средняя увеличится или уменьшится во столько же раз.

4) Средние суммы (разности) двух или нескольких величин равны сумме (разности) их средних.

5) Cумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа.

6) Если к каждому индивидуальному значению признака X прибавить или вычесть постоянное число, то и средняя величина x возрастет или уменьшится на то же число.