Экзаменационный билет № 1

1. Предмет и основные определения теории вероятностей. Предмет и основные задачи математической статистики.

Т.В. – раздел в математике, в котором по данным вероятностям одних случайных событий находят вероятности других событий, связанных каким либо образом с первыми.

Предметом теории вероятностей является изу­чение вероятностных закономерностей массовых однород­ных случайных событий. Наблюдаемые события (явления) можно подразделить на следую­щие три вида: достоверные (событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная сово­купность условий S), невозможные (событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность усло­вий S) и случайные (событие, которое при осуществле­нии совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти).

Методы Т.В. играют важную роль при обработке статистических данных.

Математическая статистика – наука о мат. методах систематизации и использовании статистических данных для научных и практических выводов.

Задачи мат. статистики:

1. указывает способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или специально поставленных экспериментов.

2. разработка методов анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относится:

-оценка независимой функции распределения.

-если распределение известно, то оценка неизвестных параметров распределения.

-оценка зависимости одной С.В от другой.

-проверка статистич. гипотез о виде неизвестного распределения.

2. Доверительные интервалы для математического ожидания случайной величины X. Имеющей нормальное распределение при неизвестном σ.

Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок. Доверительным называется интервал ,

(Θ*-δ,Θ*+δ), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью γ.

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение σ неизвестно. По данным выборки можно построить случайную величину (ее возможные значения будем обозначать через t)

Которая имеет распределение Стьюдента с k=n -1 степенями свободы; - выборочная средняя, S – «исправленное» среднее квадратическое отклонение, n – объем выборки.

Плотность распределения Стьюдента:

, где

Здесь распределение Стьюдента определяется параметром n - объемом выборки и не зависит от неизвестных параметров a и σ, это является большим его достоинством. Поскольку S(t,n)- четная функция от t, вероятность осуществления неравенства определяется: , в последствии получаем:

Используя распределения Стьюдента мы нашли доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр а с надежностью γ. По таблице по заданным n и γ можно найти t_γ.

Однако для малых выборок (n<30), замена распределения нормальным приводит к грубым ошибках, а именно к неоправданному сужению доверительного интервала.

Экзаменационный билет № 3

1. Статистическое определение вероятности, его особенности и связь с классическим определением.

Наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение: в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней. Для существования статистической вероятности события А требуется:

1.возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное кол-во испытаний, в каждом из которых события А наступает или не наступает.

2. устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испытаний.

Недостаток статистического определения является неоднозначность статистической вероятности, т.е в качестве вероятности события можно принять не только 0.4, но и 0.39; 0.41 и т.д.

При статистическом определении вер-ти сохраняются свойства, вытекающие из классического определения:

1. статистическая вер-ть достоверного события равна 1.

2. статистическая вер-ть недостоверного события равна 0.

3. статистическая вер-ть случайного события - положительное число между 0 и 1.