Навчальні питання
1. Визначення початкового плану розподілу сил (засобів). Симплекс метод на конкретном примере
Задача. Найти максимум линейной формы (целевой функции)
L = х1 + х2 + х3 max (1)
при ограничениях:
х1
+ 3х2 + 2х3 <= 24
2х1 + 2х2 + 4х3 <= 24 (2)
3х1 + х2 + х3 <= 19
х1 , х2 , х3 > = 0. (3)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. Приводим задачу к каноническому виду (составим ОЗЛП).
= х1
х2 х3
min (1)
х1 + 3х2 + 2х3 + x4 = 24
2х1 + 2х2 + 4х3 +x5 = 24 (2)
3х1 + х2 + х3 +x6 = 19
х1 , х2 , х3 >= 0. (3)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Система (2) совместна, все три уравнения линейно независимы, ранг системы r=3, базисных переменных r=3. Всего переменных n=6. Свободных переменных k = n3 = 3.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. В качестве свободных переменных выберем х1 = х2 = х3 = 0. Базисные х4 , х5 , х6 .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. Выразим базисные переменные и линейную форму через выбранные свободные переменные:
= 0 ( х1 + х2 + х3 )
x4 = 24 ( х1 + 3х2 + 2х3 )
x5 = 24 ( 2х1 + 2х2 + 4х3 )
x6 = 19 ( 3х1 + х2 + х3 )
------------------------------------------------------------------
Составим первую симплекс-таблицу. Таблица № 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свободные переменные |
||||||||||||||
Базисные |
Свободный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х5 |
|
|
||||||||
переменные |
член |
|
|
Х1 |
|
|
|
|
Х2 |
|
|
|
|
Х3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
(Индексная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
строка) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х4 |
|
|
|
24 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х3 |
|
|
Х5 |
|
|
|
24 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х6 |
|
|
|
19 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Анализ таблицы № 1
Опорный план получен.
Признаком того, что опорное решение существует – это наличие неотрицательных свободных членов в симплекс-таблице.
План не оптимален, поскольку в индексной строке все коэффициенты положительные. Для улучшения плана нужно одну свободную переменную ввести в базис, а одну старую базисную переменную вывести из базиса.
Вводимая свободная и выводимая базисная переменные определяются по разрешающему элементу таблицы, который стоит на пересечении столбца свободной переменной и строки базисной переменной.
2. Правила выбора разрешающего элемента
- разрешающий элемент в таблице выбирается с таким же знаком, что и свободный член;
- если их в строке (строках) несколько, то выбирается тот, для которого отношение к нему свободного члена минимально, если таких несколько, то выбирается любой.
В таблице 1 выбираем разрешающий элемент 4. Обводим его пунктирной линией. Например, кружком.
3. Составим вторую (следующую) симплекс-таблицу.
3.1. В левом верхнем углу каждой ячейки таблицы записываем коэффициенты предыдущей таблицы, разрешающий элемент записываем в середине клетки и обводим его штриховой линией (кружком). Эти коэффициенты называет старыми.
3.2. Выделяем разрешающую строку и разрешающий столбец.
3.3. Старые коэффициенты разрешающей строки обводим прямоугольником.
3.4. Находим новые коэффициенты.
а) новые коэффициенты разрешающей строки равны отношениям старых коэффициентов к разрешающему элементу; в клетке разрешающего элемента новый разрешающий коэффициент определяется как обратный к старому разрешающему элементу;
б) новые коэффициенты разрешающего столбца равны отношениям старых коэффициентов к разрешающему элементу, взятым с обратным знаком;
в) новые коэффициенты остальных строк и столбцов равны алгебраической сумме
старых коэффициентов и произведения старых коэффициентов разрешающей строки на новые коэффициенты разрешающего столбца, на пересечении которых отыскивается новый коэффициент (для этого они и обводились прямоугольниками);
г) новые коэффициенты записываем в правом нижнем углу каждой клетки симплекс-таблицы;
д) симплекс-метод не допускает округлений, переводить простые дроби в десятичные не целесообразно;
е) новые коэффициенты находим в начале в разрешающем столбце, затем в столбце свободных членов и индексной строке.
После чего, анализируя симплекс-таблицу, устанавливаем, получен ли оптимальный план или нет.
Если оптимальный план не получен, продолжаем заполнять симплекс-таблицу.
Анализ таблицы № 2
Опорный план имеется, т.к. в столбце
свободных членов все коэффициенты
неотрицательные. План не оптимален,
поскольку в индексной строке есть два
положительных коэффициента. Разрешающий
элемент
.
В соответствии с пунктами
3.1, 3.2, 3.3,
3.4 заполняем третью симплекс-таблицу.
Анализ таблицы № 3
Опорный план имеется, т.к. в столбце свободных членов все коэффициенты положительные. План не оптимален, поскольку в индексной строке есть один положительный коэффициент. Разрешающий элемент 2. В соответствии с пунктами 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 заполняем четвертую симплекс-таблицу.