III. Навчальні матеріали до навчальних питань:

Напередодні заняття повторити питання заняття 3/3 і вивчити:

Теоретична частина.

У різних економічних моделях у якості оптимального приймається план виробництва, що забезпечує заданий виробничий результат при мінімальних витратах. Так, наприклад, у моделях транспортних задач, що утворюють найбільш широкий клас задач лінійного програмування, виробляється пошук оптимального по тому або іншому критерію плану перевезень вантажів з пунктів відправлення в задані пункти споживання.

Історично методи лінійного програмування почали розвиватися саме з дослідження транспортних задач. Вивчення транспортних задач має виняткове практичне значення, тому що, по-перше, дозволяє знизити транспортні витрати конкретного підприємства на 10-30%, а по-друге, велику кількість інших прикладних задач можна описати математичними моделями, подібними до моделей транспортних задач.

Найефективнішими методами рішення задач по визначенню оптимального плану є методи лінійного програмування. Вони поділяються на дві групи: універсальні і спеціальні.

За допомогою універсальних методів можна вирішити будь-яку задачу лінійного програмування, у тому числі і транспортну. З числа цих методів найбільш розповсюдженим є симплексний метод, запропонований Дж. Данцигом. До цієї групи відноситься також метод дозволяючих множників Л.В. Канторовича. Особливо слід зазначити метод Р. Гоморі, що має прикладне значення при рішенні задач цілочислового лінійного програмування.

Спеціальні методи застосовуються для рішення окремих класів задач лінійного програмування. Вони, як правило, простіше універсальних, але застосовні не для всіх задач. До спеціальних методів відносяться методи рішення транспортної задачі, що враховують специфіку її обмежень:

а)всі обмеження задані у вигляді рівнянь;

б)кожне невідоме входить лише в два рівняння;

в)коефіцієнти при невідомих — одиниці.

Серед цих методів найбільш відомі наступні:

розподільний метод;

модифікований розподільний метод (він же — метод потенціалів), запропонований Л.В. Канторовичем і М.К. Гавуріним, а трохи пізніше, незалежно від них, Дж. Данцигом;

угорський метод, запропонований Е. Егерварі й удосконалений X. Кунем для рішення часткового випадку транспортної задачі: задачі про призначення (або про вибір), а пізніше узагальнений Дж. Манкресом на транспортну задачу загального вигляду;

метод дозволяючих доданків А.Л. Лур'є;

метод диференціальних рент А.Л. Брудно.

Постановка задачі.

Розрізняють два типи транспортних задач: за критерієм вартості і за критерієм часу. На практиці в більшості випадків критерій вартості є головним, що визначає ефективність плану перевезень.

Якщо мова йде про перевезення швидкопсувних продуктів, про підвіз вантажів до місця техногенних і природних катастроф, про підвіз боєприпасів до місця бойових дій, то на перший план висувається не вартість перевезень, а час, протягом якого всі перевезення будуть закінчені.

Найпростіше формулювання транспортної задачі за критерієм вартості звучить у такий спосіб.

У m пунктах відправлення знаходяться, відповідно, а₁, а₂, ..., а_m одиниць однорідного вантажу (ресурси), що повинний бути доставлений у n заданих пунктів призначення (споживання), відповідно, у кількостях b₁, b₂,…,b_n одиниць (потреби). Нехай вартість перевезення одиниці вантажу з i-го пункту відправлення в j-й пункт призначення дорівнює G_ij, а відповідна кількість одиниць перевезеного вантажу дорівнює X_ij(i=l,...m; j=l,...n).

Потрібно скласти такий план перевезень, при якому загальна вартість виявиться мінімальною, тобто потрібно вказати, скільки одиниць вантажу повинне бути відправлене з довільного i-го пункту відправлення в будь-який j-й пункт призначення — так, щоб максимально задовольнити потреби і щоб сумарні витрати на перевезення були мінімальними.

Матриці, утворені значеннями змінних х_ij і коефіцієнтами G_ij, називаються, відповідно, планом перевезень і матрицею транспортних витрат.

Розрізняють закриті і відкриті математичні моделі транспортної задачі. У моделях першого типу зберігається баланс між сумарними ресурсами і сумарними потребами:

(1)

а в моделях другого типу порушений баланс між сумарними ресурсами і потребами:

(2)

(3)

Закрита модель для транспортної задачі є, у своєму роді, канонічною, і всі методи рішення розроблені саме для неї. Відкриту ж модель спочатку зводять до закритої і лише після цього приступають до рішення транспортної задачі.

З курсу лінійного програмування відомо, що для закритої моделі справедливі наступні твердження:

рівність (1) є необхідною і достатньою умовою спільності транспортної задачі;

будь-яка транспортна задача має оптимальний план;

якщо величини а_i і b_j є цілими числами, то і всі значення змінних x_ij в оптимальному плані будуть цілими величинами.