§5. Угловые кинематические параметры и их связь с линейных кинематическими параметрами.

При вращении тела все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Эта ось может быть либо неподвижной, либо как-то перемещаться в пространстве. Однако мгновенное распределение скоростей точек тела в рассматриваемый момент времени будет в точности таким же, как и при вращении тела вокруг неподвижной оси. Движение тела в этом случае называют мгновенным вращением. Прямая, проходящая через точки тела, скорость которых равна нулю, называется мгновенной осью вращения. В общем случае мгновенная ось вращения может проходить и вне тела.

Мгновенная ось служит для описания мгновенного распределения толькоскоростей. Той же осью нельзя пользоваться для описания мгновенного распределения ускорений.

Опишем движение материальной точки по окружности радиуса R и для этого введем следующие угловые кинематические параметры. (рис. 5.1.).

1. Элементарное угловое перемещение d.

Элементарное угловое перемещение точки характеризуется не только абсолютной величиной, но и плоскостью, в которой происходит это перемещение. Значит это не скалярная величина. Направление этой величины примем условно, и поэтому получится так называемый псевдовектор. Псевдовектор отличается от вектора тем, что при инверсии координатных осей компоненты вектора меняют свой знак, а компоненты псевдовектора нет.

Направление элементарного угла поворота d определяется по правилу правого винта: оно совпадает с направлением поступательного движения правого винта, вращающегося вместе с точкой (рис. 5.1.). Бесконечно малые (элементарные) углы поворота d удовлетворяют правилу сложения векторов.

Конечные углы поворотов  этому правилу не удовлетворяют, и поэтому не могут считаться векторами.

Из рис. 5.1 также следует, что

dr = dr. (5.1)

Действительно, dr= Rd = r sin d,а направления всех векторов удовлетворяют правилу векторного умножения.

Равенство 5.1 выражает связь между линейным кинематическим параметром (элементарным перемещением dr) и угловым кинематическим параметром (элементарным углом поворота d).

2. Угловая скорость

Для описания вращательного движения точки вводят понятие вектора угловой скорости , численно равного производной от угла поворота  по времени t. Направление вектора  совпадает с направлением элементарного углового перемещения d, т.е. определяется по правилу правого винта, введенному выше.

.(5.2)

Связь между скоростью v точки при вращательном движении и угловой скоростью можно найти из определения скорости (3.4) и соотношения (5.1).

= r. (5.3)

3. Угловое ускорение

Угловым ускорением называется производная вектора угловой скорости по времени.

 = .(5.4)

Найдем связь между линейным ускорением и угловыми кинематическими параметрами. Для этого воспользуемся определением ускорения (3.9) и соотношением (5.3):

w=.(5.5)

Соотношение (5.5) выражает связь между линейным ускорением w и угловыми кинематическими параметрами и  в общем случае.

В случае вращения точек тела вокруг неподвижной оси вектора  и r лежат в одной плоскости, а  и v взаимно перпендикулярны (см. рис. 5.2).

Поэтомуr =  sin r = R, а ÷´vç= v = ²R.

Направление вектора b´r совпадает с направлением тангенциального ускорения w_ , а направление вектора w´v с направлением нормального ускорения w_n. Таким образом, в случае вращения точек тела вокруг неподвижной оси

w_ = b´r и w_n= ²Rn. (5.6)

Очевидно, что модуль полного ускорения w равен:

. (5.7)

Уравнения (5.1)(5.7) выражают связь между угловыми и линейными кинематическими параметрами.