§2. Векторы

Некоторые физические величины характеризуются только одним числом и они называются скалярами. К таким величинам относятся масса, заряд, температура, работа и др. Операции с такими величинами (сложение, умножение, деление, возведение в степень и др.) привычны и хорошо известны.

Для характеристики других физических величин необходимы знания не только их абсолютных величин, но и направлений. Такие величины называются векторами.

Численное значение вектора называется абсолютной величиной или модулем. Модуль вектора – скаляр, причем всегда положительный. Вектор мы будем обозначать прямой буквой полужирного шрифта, а его модуль – курсивом. Иногда, в случае необходимости модуль может обозначаться с помощью вертикальных боковых черточек.

Например, r, S, F –векторы; r, S, F или |r|, |S|, |F| – модули этих векторов.

Математические операции с векторами не так просты как операции со скалярами, а некоторые просто невозможны (например, деление).

Не все величины, обладающие абсолютной величиной и направлением, являются векторами. Но, если мы говорим, что данная физическая величина является вектором, то это означает, что она подчиняется следующим математическим операциям.

1. Сложение векторов.

Вектор С, являющийся суммой векторов А и B, может быть получен геометрическим построением по правилу параллелограмма или треугольника (см. рис 2.1).

Сложение векторов:

а) коммутативно, т.е. C = A + B = B + A;

б) ассоциативно, т.е. (A + B) + C = A + (B + C).

Производная суммы векторов равна сумме производных о каждого вектора, т.е.

. (2.1)

2. Вычитание векторов.

Вычитание векторов сводится к операции сложения.

А – В = А + (–1)В

Для того чтобы вычесть из вектора А вектор В, нужно к вектору А прибавить вектор, равный по модулю вектору В, но противоположный по направлению (см. рис. 2.2).

2. Умножение вектора на скаляр.

В результате умножения вектора А на скаляр  получается вектор В, модуль которого равен |В| = |A|, а его направление совпадает в направлением вектора А, если , и противоположно направлению вектора А, если  (см. рис.2.3).

Из этого правила вытекает, что любой вектор можно представить в виде: А = А е_А, где е_А – вектор единичной длины, совпадающем по направлению с вектором А и называемый ортом вектора А.

Вектор в общем случае может изменяться как по абсолютной величине, так и по направлению. Запись вектора с помощью орта позволяет разделить эти изменения.

.(2.2)

Первое слагаемое отвечает за изменение вектора по абсолютной величине, а второе – по направлению.

4. Умножение векторов

а) Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов А и В называется скаляр, равный произведению модулей этих векторов, умноженному на косинус угла между ними (см. рис.2.4). Скалярное произведение векторов А и В обозначается либо АВ, либо (А,В).

(АВ) = АВ  АВ cos(A,B) = AB cos . (2.3)

Скалярное произведение:

• коммутативно: т.е. (АВ) =(ВА);

• дистрибутивно: т.е. А(А+С) = АВ +АС.

Из определения скалярного произведения следует, что квадрат вектора равен квадрату его модуля.

А² = АА =А² cos0 = A² (2.4)

Если перемножаемые скалярно вектора взаимно перпендикулярны, их произведение равно нулю (см. рис. 2.4.).

Производная от скалярного произведения векторов равна:

. (2.5)

Возьмем производную от обеих частей равенства (2.4): .

Отсюда следует, что

. (2.6)

б) Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов А и В называется вектор С, обладающий следующими свойствами:

– модуль вектора С равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними (рис. 2.5).

(2.7)

–направление вектора С по установленному соглашению определяется правилом правого винта: будем поворачивать вектор А, находящийся на первом месте в произведении, на наименьший угол таким образом, чтобы его направление совпало с направлением вектора В; вектор С будет направлен в ту сторону, в которую двигался бы винт с правой резьбой, если бы головка винта поворачивалась в том же направлении, что и вектор А (рис. 2.5). На рис. 2.5 изображено правило правого винта в применении к правой руке.

Векторное произведение векторов А и В обозначается либо АВ, либо А,В.

Из определения (2.7) следует, что векторное произведение равных векторов равно нулю:

АА = 0. (2.8)

Векторное произведение дистрибутивно: т.е.

А(B + C) = AB + AC, (2.9)

но антикоммутативно: т.е.

АВ = – ВА. (2.10)

Производная векторного произведения равна:

. (2.11)

в) Двойное векторное произведение

Двойным векторным произведением называется следующая комбинация:

АВС = В(АС) – С(АВ). (2.12)

Доказательство этого соотношения можно найти в учебниках по векторной алгебре. Его легко запомнить по мнемоническому правилу – «бац минус цаб»

г) Производная вращающегося вектора, постоянного по модулю

Мы подробно рассмотрим этот частный случай, поскольку нам часто придется иметь с ним дело. Обратите на него внимание.

Из определения производной следует: .

Пусть за время Dt вектор А получает приращение DА (рис. 2.6).

При к нулю будет стремитьсяи уголповорота Dj вектора А.

В этом случае длина вектора приращения А будет стремиться к длине дуги, будет равна |A| = А. Следовательно, .Здесь учтено

, что равно – модулю вектора угловой скорости вращения вектора А.

Для определения направления вектора dА поступим следующим образом.

Вычислим скалярное произведение векторов А и dA, воспользовавшись соотношением (2.6): А ×dА = A dА = 0, так как приращения модуля вектора А равно нулю (dА = 0).

Равенство нулю скалярного произведения двух векторов, отличных от нуля, возможно только в том случае, если эти два вектора взаимно перпендикулярны. Следовательно, dА ^ А. Обратим внимание на то, что вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора dА и А. Это позволяет написать соотношение между этими векторами в виде векторного произведения:

= А. (2.13)

Это соотношение доказано для случая, когда вектор угловой скорости  перпендикулярен вектору А. Но нетрудно показать, что оно справедливо и общем случае, когда вектора А и направлены под произвольным углом друг к другу и не лежат в одной плоскости.

Примеры.

1. Теорема косинусов

Рассмотрим треугольник из векторов, определяемых равенством А + В = С (см. рис.2.1). Перенесем В в правую часть и возведем обе части в квадрат:

АА = А² = (С – В)(С – В) = С² + В² –2СВ cos(C,B) или

А² = С² + В² –2СВ cos(C,B). (2.14)

Это равенство и представляет собой запись теоремы косинусов.

2. Теорема синусов

Рассмотрим треугольник из векторов, определяемых равенством А + В = С, и помножим обе части этого равенства векторно на А: АА + АВ = АС.

Но АА = 0, а модули обеих частей равенства должны быть равны. Отсюда следует:

АВ sin(A,B) = AC sin(A,C) или

. (2.15)

Это равенство и представляет собой запись теоремы синусов.

Векторы в декартовой системе координат

Определяя вектор как направленный отрезок, мы молчаливо предполагали, что он направлен в трехмерном пространстве. Это означает, что для задания вектора необходимо знание трех независимых величин. В данной системе отсчета эти числа можно задать несколькими способами, которые будут определять систему координат.

Рассмотрим наиболее употребительные системы координат.

Прямоугольная декартовая система координат.

Если совместить начало вектора с началом отсчета, то положение конца вектора r задается тремя координатами x, y, z (рис. 2.2).

Эти координаты являются проекциямивектора r на соответствующие оси.

Обозначим через е_x, e_yие_z векторы единичной длины (орты), направленные, соответственно, вдоль осей X, Y и Z. Эта тройка ортов полностью определяет систему координат и поэтому называется базисом координатной системы.

Тогда проекцию вектора на каждую из осей можно представить в виде:

x = r_x = rе_x = rcos(r,е_x), y = r_y = re_y= r×cos(r, e_y),z = r_z = rе_z = r×cos(r,е_z), где

cos(r,е_i) – называются направляющими косинусами.

Нетрудно также видеть, что исходный вектор r представляет собой сумму векторов r_xе_x,

r_ye_y,r_zе_z, которые называются составляющими вектора, а величины r_x, r_y, r_z называются соответственно компонентами вектора.

r = r_xе_x + r_ye_y+ r_zе_z. (2.16)

Модуль вектора равен:r =.

Запись вектора с помощью ортов называется координатным способом представления вектора.

Рассмотрим, как выглядят векторные операции в координатном виде.

1.Сложение векторов

Операция сложения векторов А+В = С может быть записана в координатном виде

(А_x+B_x)е_x+(А_y+B_y)e_y +(А_z+B_z)е_z =С_xе_x+С_y e_y + С_zе_z. (2.17)

Следовательно, С_x = А_x+B_x; С_y = А_y+B_y; С_z = А_z+B_z.

Очевидно, что компоненты вектора С, представляющего разность векторов А и В, будут равны

С_x = А_x– B_x; С_y = А_y– B_y; С_z = А_z– B_z.

2. Умножение векторов

а) Скалярное произведение

Записав в скалярном произведении АВ=С векторы А и В в координатном виде, получим:

(А_xе_x + А_y e_y+А_zе_z) (В_xе_x + В_y e_y+В_zе_z) = А_xB_x+А_xB_x + А_zB_z = C. (2.18)

Здесь мы учли, что е_iе_i = 1, а е_iе_k= 0.

б) Векторное произведение

Записав в векторном произведении А  В = С векторы А и В в координатном виде и с учетом того, что е_iе_i = 0, е_xе_y=е_z, е_yе_z=е_x, е_zе_x=е_y и свойства (2.10), получим:

С = (А_yB_z – A_zB_y)е_x + (А_zB_x – A_xB_z)е_y + (А_xB_y – A_yB_x)е_z.

Очень полезно записывать это выражение с помощью определителя:

С = =е_x–+е_z.(2.19)

Рассмотрим, какими еще способами можно представить вектор.

Один и тот же вектор, может быть задан и другими тремя числами в другой системе координат.

Например, в цилиндрической системе координат, если начало системы координат совместить с началом вектора, то положение конца вектора определяется координатой z, длиной –  и углом  (рис. 2.8а).Координата z является проекцией вектора r на ось Z,  – длина проекции вектора r на плоскость, перпендикулярную оси Z, угол  – угол между направлением этой проекции и условно выбранным направлением некоторой оси X. Если декартовые оси координат X и Z совместить с цилиндрическими осями координат, то связь между декартовыми и цилиндрическими координатами, как видно из рис. 2.8а, выражается соотношениями:

x =  cos, y = sin, z =z. (2.20)

В сферической системе координат положение конца вектора определяется длиной r, углами  и  (рис. 2.8б). Длина r – длина вектора r; угол  – угол между направлением вектора r и осью X; угол  – угол между направлением вектора r и осью Z. Легко доказать (рис. 2.8б), что связь между декартовыми и сферическими координатами выражается соотношениями:

x = r sin cos, y = r sin sin, z = r cos. (2.21)

Выбор системы координат (цилиндрической, сферической или декартовой) зависит от условий задачи. Если, например, в условии задачи присутствует осевая симметрия, то, как правило, используются цилиндрические координаты, если присутствует точечная симметрия, то используются сферические координаты.

В различных системах координат один и тот же вектор определяется различными координатами, связанными между собой уравнениями (2.19) и (2.20). Следовательно, связь между одними и теми же физическими векторными величинами, записанная в скалярном виде, может принимать различные формы.

Поэтому, физические законы записывают, как правило, в векторном виде, который имеет, по крайней мере, два существенных преимущества.

а) Формулировки и записи физических законов в векторной форме не зависят от выбора системы координат.

б) Векторная форма записи является более компактной, и поэтому вид физических законов приобретает наглядность и простоту.

С другой стороны, очень часто проведение конкретных расчетов проще производить, представляя вектора в координатной форме, так как операции в этом случае носят чисто алгебраический характер. Теперь вернемся к кинематике.