Практическая часть курсовой работы

Задание 1. Распределение статического электрического потенциала ϕ(x,y) в поперечном сечении экранированной двухпроводной линии описываетсяуравнением Лапласа (см. предыдущее задание). Линия имеет следующие размеры (см. рисунок): d1 и d2 – диаметры проводников; w1 и w2 − их смещение относительно оси экрана; D − диаметр экрана. Рассчитайте распределение ϕ(x,y) при указанных в таблице размерах и потенциалах проводников ϕ1 и ϕ2 относительно заземленного экрана.

Решение поставленной задачи

Вызываем приложение PDE Toolbox с помощью команды «pdetool»

Подготавливаем интерфейс приложения PDE Toolbox: делаем нужную разметку осей и включаем сетку.

Рис.1 Окно Axes Limits с уменьшенными значениями границ

Рис.2 Координатная сетка с изображенными на ней линиями

Для конструирования области предназначен пункт меню Draw. Для перехода в режим конструирования можно выполнить команду меню Draw/ DrawMode (Рисование/режим рисования) просто выбрать один из геометрических примитивов и начать рисовать. Геометрические примитивы можно выбирать в пункте меню Draw или воспользоваться панелью рисования области.

Для решения рассматриваемой задачи необходимо нарисовать окружность, Для выбора окружности можно выполнить команду меню, либо щелкнуть по кнопке на панели рисования области.

Рис.3 Графическая среда pdetool после введения области решения задачи

На втором этапе решения задачи необходимо ввести уравнение в частных производных. Для ввода уравнений служит пункт меню PDE. Подпункт меню PDE Mode служит для перехода в режим ввода уравнений. Второй подпункт служит для показа подобластей, входящих в область решения. Третий пункт PDE Specification позволяет выбрать тип уравнений и ввести его коэффициенты.

Устанавливаем вид расчетов

Рис.4 Выбор типа решения задачи

Задаем начальные условия на проводниках С1и С2 - ϕ1=-10 В и ϕ2=9 относительно

Выделяем границы для того чтобы задать необходимые граничные условия Для ввода граничных условий предназначен пункт меню Boundary (Граничные условия). Для перехода в режим ввода граничных условий можно выполнить команду меню Boundary/Boundary Mode (Граничные условия/Режим граничных условий).

Выделяем верхнюю и нижнюю границы области и переходим к вводу граничных условий. На этом участке границы определены условия Дирихле вида h*T=r, h=1, r=о. На левой границе условие такого вида.

Таким же образом поступаем с правой границей, учитывая что на правой границе условие Дирихле вида h*T= h=1, r=100.Рис.6,7

Рис.5 Задаем условия для верхней и нижней границы области G

Рис.6 Задаем условия на границах отверстия области G

На следующем, этапе проведем триангуляцию области – покроем область сеткой, состоящей из треугольников. Это и есть конечные элементы, на которые разбивается область. Режимом триангуляции управляет пункт меню Mesh (Сетка). Для перехода в режим триангуляции служит команда Mesh/ Mesh Mode (Сетка/режим сетки). Переход в режим триангуляции сразу разбивает область на крупные треугольники. Этого же можно добиться с помощью команды начала триангуляции – пункт меню Mesh/ Initialize Mesh (Сетка/Определить (инициализировать) сетку).

Рис.7 Начальная триангуляцию области G

Рис.8 Уменьшенная сетка в области G

Задаем коэффициенты уравнения: c = 1, a = 0, и f = 0

Устанавливаем параметры отображения решения

На последнем этапе для решения поставленной задачи необходимо выполнить команду меню Solve/PDE Solve (Решение/Решить PDE).

После этого найденное решение автоматически изображается на экране в виде цветного контурного графика. Рис.8

Рис.9 Контурный график решения задачи

Рис. 10 Задание параметров для построения трехмерного графика

Рис.11 Трехмерный график решения задачи

Задание 2. Процесс передачи тепла в твердом веществе описывается

уравнением теплопроводности

где ρ и C – плотность и теплоемкость вещества, T – температура, k – коэффициент теплопроводности, Q – плотность источников тепла. Рассчитайте процесс изменения температурного распределения T(x,t) в стержне, при указанных в таблице данных. Длина стержня L = 1м. Значения температуры на левом и правом концах стержня соответственно T(x=0) = T0 и T(x=L) = TL . Объемные источники тепла отсутствуют: Q = 0.

Решение поставленной задачи

Вызываем приложение PDE Toolbox с помощью команды «pdetool»

Подготавливаем интерфейс приложения PDE Toolbox: делаем нужную разметку осей и включаем сетку.

Рис.1 Окно Axes Limits с уменьшенными значениями границ

Рис.2 Координатная сетка с изображенными на ней линиями

Для выбора прямоугольника можно выполнить команду меню Draw/Rectangle/Square (Рисование/прямоугольник/квадрат), либо щелкнуть по кнопке на панели рисования области.

Задаем начальные условия

Рис.3 Графическая среда pdetool после введения области решения задачи

зліва Т0=150С^о зправа ТL=10С^о

Рис.4 Задаем условия для верхней и нижней границы области G

Рис.5 Задаем условия на границах отверстия области G

Формируем сетку конечных элементов

Рис.6 Начальная триангуляцию области G

Рис.7 Уменьшенная сетка в области G

Устанавливаем вид расчетов

Задаем параметры уравнения rho=2.9*10³кг/м³, C=300 Дж/Кг*К, k=80 Вт/м*К Q=0, де rho и С - густина та теплоемкость вещества, k – коэффициент теплопроводности, Q – объемные источники тепла.

Устанавливаем параметры отображения решения

Рис.8 Контурный график решения задачи

Рис.9 График решения задачи

Задание №3

Используя метод сеток, составить решение смешанной задачи для уравнения колебания струны с начальными условиями , и краевыми условиями , . Решение выполнить с шагом , определяя значения функции с четырьмя десятичными знаками, причем .

7

xsin x

2t

0

Для решения данной задачи рассмотрим краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа. Задача заключается в нахождении функции , удовлетворяющей уравнению

начальным условиям

и граничным условиям

.

Если , то рассматривается краевая задача для неоднородного уравнения, если – краевая задача для однородного уравнения.

Сформулированная задача, в частности, описывает колебания струны, функция определяет положение каждой точки струны в момент времени . Начальные условия для каждой точки струны описывают начальное положение и начальную скорость. Граничные условия описывают изменение положения граничных точек струны и с течением времени. Функция определяет наличие возбуждающих сил, действующих на струну.

Для решения краевой задачи применим метод конечных разностей. Для этого в области построим два семейства параллельных прямых, проходящих через точки , на осях координат. Значения неизвестной функции в узлах сетки обозначим через , ,

Для нахождения значений искомой функции на границах заданной области воспользуемся заданными краевыми условиями.

Из граничных условий

следует

,

Из первого начального условия

следует

, .

Остановимся подробнее на втором начальном условии

,

которое выполняются для и всех , где :

, .

Частную производную по времени представим через соответствующую конечную разность

, ,

откуда следует, что

, .

Полученная формула позволяет вычислить значения искомой функции при . Итак, начальные условия позволяют вычислить значения функции на первых двух

слоях сетки.

Все остальные значения получаем из уравнения, заменой в нем частных производных соответствующими выржениями через конечные разности при ,

После умножения уравнения на получим

,

,

Обозначив , приводим эти уравнения к виду

,

,

Заметим, что в полученном равенстве используется явная схема узлов, так как позволяет найти значения функции на слое , если известны значения на двух предыдущих слоях.

Два начальных условия дали возможность найти приближенноые значения искомой функции на двух начальных слоях сетки, что позволяет использовать полученное равенство для нахождения значений функции, начиная со второго слоя при .

Доказано, что при полученное разностное уравнение устойчиво.

В частности, при равенство имеет наиболее простой вид:

, ,

Проведя все необходимые вычисления в среде MS EXCEL

получим следующие значения

						pi	3,14
h	0,1
5		0,5	1	0,7426	1,8760	2,9228	3,7658	4,3243	4,0484	3,4146	2,4699	1,2958	0
4		0,4	0,8	0,5491	1,4962	2,4039	3,2129	3,7691	4,0549	3,5443	2,6226	1,3936	0
3		0,3	0,6	0,3908	1,0771	1,7864	2,4073	2,9435	3,2650	3,2630	2,4680	1,3268	0
2		0,2	0,4	0,2582	0,6810	1,0805	1,5170	1,9032	2,1516	2,1886	1,9672	1,0744	0
1		0,1	0,2	0,1519	0,2615	0,4116	0,5763	0,7250	0,8268	0,8558	0,7951	0,6403	0
0	T	0	0	0,03089	0,11751	0,2426	0,3803	0,5	0,5708	0,5668	0,4711	0,2793	0
J		X	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1

И соответствующее графическое решение представленное отдельными графиками на каждый момент времени.