Распределение студентов по росту

Рост, см	154–158	158–162	162–166	166–170	170–174	174–178	178–182
Число студентов	10	14	26	28	12	8	2

Вычислим средний рост студентов. Для этого найдем среднее значение каждого интервала по формуле

,

где x_i и x_{i + 1} – границы интервала.

Например, см.

Аналогично рассчитаем средние значения всех остальных групп и представим данные в виде дискретного вариационного ряда в табл. 2.6.

Таблица 2.6

Дискретны вариационный ряд распределения студентов по росту

Рост, см	156	160	164	168	172	176	180
Число студентов	10	14	26	28	12	8	2

Средний рост студентов вычислим по формуле (2.9), применяемой для расчета средней арифметической взвешенной:

Таким образом, средний рост студентов составил 166 см.

Описанный прием исчисления средней используется в случае, когда нет исходных данных о конкретных величинах отдельных вариантов. При этом делается допущение о равномерности распределения признака внутри интервала, что не всегда соответствует действительности. Данное допущение может повлиять на правильность расчета общей средней, определенной по данным интервального вариационного ряда. Степень расхождения зависит от числа вариантов, величины интервалов и характера распределения единиц совокупности.

Рассмотрим основные свойства средней арифметической:

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю, т. е.

. (2.10)

Таким образом, влияние отрицательных отклонений при суммировании нивелируется (взаимно погашается) положительными отклонениями, что и дает нулевой результат.

Данное свойство верно и для взвешенных средних значений.

2. Произведение каждого значения осредняемого признака на соответствующую ему частоту будет тождественно произведению средней величины на сумму частот:

. (2.11)

3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней арифметической меньше суммы квадратов отклонений тех же значений от любой другой величины, не равной , т. е.

. (2.12)

4. Если у всех вариантов изменить соответствующие им веса в A раз, то среднее арифметическое от этого не изменится.

5. Если все значения осредняемого признака изменить на постоянное число A (или в A раз), то средняя арифметическая соответственно изменится на ту же величину (или в то же число раз).

Последние два свойства раньше широко применяли для упрощения расчетов, используя метод "условного среднего". В настоящее время в связи с широким применением компьютеров для проведения статистических расчетов необходимость использования упрощенных методов расчета фактически отпала.

Средняя гармоническая. Средняя гармоническая используется в тех случаях, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение. Она рассчитывается по формулам (2.6) и (2.7) с учетом k = –1:

1. средняя гармоническая простая

; (2.13)

2. средняя гармоническая взвешенная

, (2.14)

где x_i – i-ый вариант осредняемого признака; n_i – частота, соответствующая варианту x_i; n = – объем совокупности, W_i = x_in_i.

Пример 2.8. Руда состоит из трех минералов n₁, n₂ и n₃, вес.%; их удельные веса d₁, d₂ и d₃ г/см³. Найдем средний удельный вес d руды.

Так как n₁ + n₂ + n₃ = 100 %, то

,

откуда

,

т. е. удельный вес руды есть взвешенная средняя гармоническая удельных весов минералов. Если бы руда содержала равные весовые доли минералов, т. е. если n₁ = n₂ = n₃ = , то

.

В этом частном случае средним удельным весом руды явилась бы средняя гармоническая простая. Если бы содержание минералов в руде было дано не в весовых, а в объемных долях, то средний удельный вес руды равнялся бы средней взвешенной арифметической удельных весов отдельных минералов, причем "весом" служили бы объемные доли минералов.

Средняя гармоническая является преобразованной формой средней арифметической. Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, предварительно определив веса отдельных значений признака.

Средняя геометрическая. Средняя геометрическая используется в тех случаях, когда индивидуальными значениями признака являются относительные величины. Данная величина рассчитывается по формулам (2.6) и (2.7) с учетом k = 0:

1. средняя геометрическая простая

; (2.15)

2. средняя геометрическая взвешенная

, (2.16)

где x_i – i-ый вариант осредняемого признака; n_i – частота, соответствующая варианту x_i; n = – объем совокупности.

Этот вид средней применяется прежде всего для определения среднего темпа роста (например, относительного прироста численности) и равноудаленной величины от максимального и минимального значений признака.

Пример 2.9. В результате медленного окисления основного вещества в растворе, циркулирующем в аппаратуре цеха, постепенно накапливалась примесь. Содержание примеси в растворе определялось в начале каждых суток в течение недели (концентрация примеси, г/л): 36,2; 36,7; 37,6; 40,2; 44,3; 52,2; 66,7; 92,4. Вычислим средний суточный процент роста концентрации примеси.

Процент роста концентрации примеси за 1-е, 2-е, …, 7-е сутки составил x₁, x₂, …, x₇. Средний суточный процент роста концентрации x найдем, использовав равенства

x₁ · x₂ · … · x₇

или

.

Величина x является средней геометрической чисел x₁, x₂ и т. д.

Вычислим процент роста концентрации примеси за сутки. Например, x₁ = 36,7 / 36,2·100 % = 101,4 %. В результате аналогичных расчетов получим: x₂ = 102,5 %, x₃ = 106,9 %, x₄ = 110,2 %, x₅ = 117,8 %, x₆ = 112,8 %, x₇ = 138,5 %. Отсюда:

= 114,3 %.

Таким образом, в течение недели средний процент роста концентрации примеси составил 114,3 % (т. е. средний процент роста концентрации примеси увеличивался в среднем на 14,3 % ежедневно в течение недели).

Средняя квадратическая. Средняя квадратическая используется для осреднения квадратных величин (диаметра, площади), а также при расчете показателей вариации. Данная величина рассчитывается по формулам (2.6) и (2.7) с учетом k = 2:

1. средняя квадратическая простая

; (2.17)

2. средняя квадратическая взвешенная

, (2.18)

где x_i – i-ый вариант осредняемого признака; n_i – частота, соответствующая варианту x_i; n = – объем совокупности.

Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.

Пример 2.10. Газ поступает в газохранилище по двум трубам, диаметры которых d₁ и d₂. Линейная скорость движения газа в трубах одинакова и равна v. Если заменить разные трубы одинаковыми, то каков должен быть их диаметр d при условии, что общее количество газа и линейная скорость его движения должны остаться прежними?

При данной скорости объем W проходящего по трубе газа пропорционален квадрату ее диаметра:

.

Поэтому с учетом условий задачи имеем

.

Откуда

.

Таким образом, для расчета среднего значения необходимо использовать формулу (2.17) средней квадратической простой.