2.3.2. Виды средних величин

Среднюю во многих случаях можно определить, используя исходное соотношение средней (ИСС) (ее логическую формулу):

(2.5)

Например, для расчета средней высоты растения необходимо использовать следующую формулу для ИСС:

,

а для расчета средней урожайности картофеля:

.

По форме расчета выделяют несколько видов средних, которые образованы из единой степенной средней величины, которая определяется по формулам:

1) простая средняя, используемая для несгруппированных данных:

; (2.6)

2) взвешенная средняя, применяемая для сгруппированных данных:

, (2.7)

где k – показатель степени, – средняя величина признака; x_i – i-ый вариант осредняемого признака (в общем случае предполагается, что x_i 0); n_i – частота, соответствующая варианту x_i; n = – объем совокупности.

Выбор формы средней обусловлен исходным соотношением и зависит от того, в каком виде представлены исходные данные.

Рассмотрим наиболее часто используемые в статистике виды средних.

Средняя арифметическая. Наиболее распространенной из средних величин является средняя арифметическая. Она менее подвержена влиянию случайностей, обусловленных выборочным характером исследуемого материала, и рассчитывается по формулам (2.6) и (2.7) с учетом k = 1:

1) средняя арифметическая простая

; (2.8)

2) средняя арифметическая взвешенная

, (2.9)

где x_i – i-ый вариант осредняемого признака; n_i – частота, соответствующая варианту x_i; n = – объем совокупности.

Пример 2.5. Длина тела семи личинок щелкуна, отобранных случайным способом в посеве озимой ржи, измерена в миллиметрах: 10; 14; 7; 12; 15; 16; 12. Найдем среднюю длину тела личинки.

Осредняемый признак – длина тела личинки. Исходные данные являются несгруппированными, поэтому для нахождения средней арифметической простой используем формулу (2.8):

мм.

Пример 2.6. Сведения о числе чашелистиков в цветках лютика ползучего представлены в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Распределение цветков лютиков по числу чашелистиков

Число чашелистиков xi	3	4	5	6	7
Количество цветков ni	1	20	59	18	2

Исходные данные сгруппированы и представлены в виде дискретного вариационного ряда, в котором указано число чашелистиков x_i (осредняемый признак) и количество цветков n_i (частота). В этом случае рассчитывается средняя арифметическая взвешенная по формуле (2.9):

.

Статистический материал в результате обработки может быть представлен не только в виде дискретных рядов распределения, но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами. В этом случае при расчете средней арифметической сначала необходимо вычислить среднее значение каждого интервала . Далее средняя рассчитывается так же, как и для дискретного вариационного ряда, но в качестве варианта используем значение .

Пример 2.7. Данные о результатах измерения роста (в см) случайно отобранных ста студентов указаны в табл. 2.5.

Таблица 2.5