17. Кванторы
К специальным операциям логических предикатов относятся операции квантификации, то есть навешивание кванторов на переменные.
Процедура навешивания кванторов применима не только к одноместным предикатам, но и к предикатам большей местности. В этом случае говорят, что квантор навешен на определенную переменную предиката. Если на определенную переменную предиката навешен квантор, то эта переменная становится связанной, остальные переменные – называются свободными. Смысл связанных и свободных переменных в предикатном выражении различен. Свободные переменные - это обычные переменные, которые могут принимать значения из предметной области.
P(x) –
переменная высказывания зависит от
переменной x, в то же
выражение
и
не зависит от x и при
фиксированном значении предиката
принимает определенной значение
предиката 0 или 1.
Пример:
Областью действия квантора – называется выражение на которое навешан квантор.
Пример: 1)
2)
18. Предикатные формулы тавтологии
Предикатной формулой – называется формула в которую включены:
а) символы предиката;
б) символы переменных;
в) кванторы;
г) логические операции.
Предикатной формулой – называется выражение построенное по следующим выражениям:
а) если P – предикатный символ, а x1, x2…xn – переменные, то F(x1, x2…xn) – предикатная формула, все переменные в ней свободные;
б) если А и В – предикатные формулы с одним и тем же числом свободных и связанных переменных, тогда их конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, , также являются формулами.
в) если А – формула содержащая в себе
свободную переменную х (А=А(х)), а другие
переменные могут быть свободными, так
и связанными, то и выражение для
уменьшает количество свободных переменных
на 1 и увеличивает количество связанных
переменных на 1, формула А называется
область действия квантора.
Пример: P(x,y)=
«x≤y», x,y
R,
x,y
N0
Область истинности предиката задана предикатной формулой определенной с помощью областей истинности его составляют с учетом соответствующих записей.
Эквивалентными предикатными формулами называются формулы у которых области истинности совпадают.
Интерпретация – сопоставление каждому предикатному символу в формуле определенного предиката.
Пусть F и G имеют одинаковое количество свободных переменных. Формулы F и G являются равными в данной интерпретации, если они выражают один и тот же предикат.
Формулы F и G называются равносильными в каждой интерпретации если они равносильны в каждой интерпретации из этого множества.
Пример:
можно считать относительно предиката
на данном множестве.
Предикатные формулы F и G называются равносильными в области предиката, если они равносильны на каждом множестве (F=G).
Замечание: для логики предикатов относятся и заданные логические высказывания, кроме того добавляются специальные законы логики предикатов.
Перенос квантора через отрицание:
1)
2)
II. Перестановка одноименных кванторов:
1)
2)
III. Если а(X) – содержащие свободную переменную X, а формула в не содержащая X, остальные переменные одинаково свободны и связаны, тогда
Следует отметить различия между логической интерпретацией формул логики предиката и логики высказывания.
Логика высказываний – это приписывание переменным истинного значения.
Логика предикатов – отображают области состояний {0,1}.
При логической интерпретации возможно 3 следующих ситуации:
1) формула F называется выполнимой (не противоречивой), если существует интерпретация в которой ее область истинности не пуста.
2) Тождественно истинной (общезначимой, тафталогией) называется формула область истинности совпадает с областью определения в каждой ее интерпретации.
3) Тождественно ложной или противоречивой называется формула в которой область истинности пуста.
1) F,G – общезначимые
2)
Если Y не входит в формулу
P(x), то для
3)
Перенос квантора через отрицание
4)
5) общезначимыми формулами являются законы коммутативности для квантора.
6)
x – множество книг в библиотеке,
y – множество студентов в группе.
Теорема Черча : не существует алгоритма который бы для любой формулы логики предикатов устанавливается общезначимая она или нет.