11. Основные логические операции

Конъюнкцией двух высказываний А и В, называется высказывание являющееся истинным, если высказывания истинны.

Дизъюнкцией двух высказываний А и В, называется высказывание являющееся ложным, если высказывания А и В ложные.

Импликацией или логическим следованием двух высказываний А и В, называется высказывание являющееся ложным, если посыл истинный, а вывод ложный.

Отрицанием или инверсией высказывания А, называется высказывание, которое является истинным, когда А – ложно и наоборот.

Эквиваленцией или эквивалентностью двух высказываний А и В, называется высказывание, которое является истинным, если истинность А и В совпадают.

Суммой по модулю 2 или неэквивалентностью двух высказываний А и В, называется высказывание, которое является истинным, если истинность А и В не совпадают.

Стрелкой Пирса, называется высказывание, которое является истинным, когда высказывание являются ложным.

Ш трихом Шиффера, называется высказывание являющееся ложным, когда оба высказывания являются истинными.

12. Основные схемы логических правильных рассуждений

Наряду с алфавитами и правильным построением сложных высказываний в логике высказываний обязательны и правила преобразования логических формул.

Процесс получения новых знаний выраженных высказываниями из уже имеющихся знаний, также выражаются высказываниями, называется рассуждением или умозаключением.

Наиболее употребимые схемы логически правильных рассуждений:

1. Правило заключения – утверждающий модус: ;

2. Правило отрицания – отрицательный модус: ;

3. Правила утверждения-отрицания: , ;

4. Правила отрицания-утверждения: , , , ;

5. Правило транзитивности: ;

6. Закон противоречия: ;

7. Правило контрапозиции: ;

8. Правило сложной контрапозиции: ;

9. Правило сечения: ;

10. Правило импортации (объединение посылок): ;

11. Правило экспортации (разъединение посылок): ;

12. Правила дилемм: а) ;

б) ;

в) ;

г) .

13. Алгебра логики

Рассмотрим множество В, состоящее из 0 и1 (В={0,1}). Это бинарное множество элементов которыми являются формальные 0 и 1 не несущими арифметического смысла и интерпретируемые.

Алгеброй логики – алгебра заданная на множестве В вместе со всеми возможными операциями на этом множестве.

Логическими переменными – переменные принимающие значения из множества В. Эти переменные называются булевыми или двоичными.

Функцией алгебра логики или булевой функции f(x₁,…x_n) называется n-арная логическая операция, то есть f:BⁿB.

Число всех возможных различных наборов знаний n-переменных логической функции f, равно f=2ⁿ.

Чаще всего используются унарные и бинарные логические операции. Унарные операции: P₂(1)

x	0	x		1
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

P₂(2):

2⁴=16

x	y	0	x	y			1
0	0	0	0	0	1	1	1	0	1	0	1	1	0	1	0	1	0
0	1	0	0	1	1	0	1	0	1	1	0	1	0	0	1	0	1
1	0	0	1	0	0	1	1	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1
1	1	0	1	1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0

Пример:

x	y	z	m3	g1	g2
0	0	0	0	0	1
0	0	1	0	1	1
0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	1	0
1	0	0	0	1	1
1	0	1	1	1	1
1	1	0	1	1	0
1	1	1	1	1	0

m₃ (x,y,z) – наз. функция больш.

g₁ (x,y,z) =

g₂ (x,y,z) =

Переменная x_k – называется несущественной (фиктивной) переменной функции f(x₁, x₂,…, x_k-1, x_k, x_k+1,…x_n), если f(x₁, x₂,…, x_k-1, 0, x_k+1,…x_n)= f(x₁, x₂,…, x_k-1, 1, x_k+1,…x_n) значение.

Если x₁ – фиктивная переменная функции f, то первая половина заданного ее столбца значений совпадает со второй. Если отбросить вторую половину этой функции, а затем удалить первый столбец полностью состоящей из 0, то полученная функция f от (n-1) переменных.

Функция которая может быть получена из другой функции удалением или введением фиктивной переменной называется равными.