Компланарность Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости. Свойства компланарности

Пусть   — векторы пространства  . Тогда верны следующие утверждения:

• Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

• Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

• Смешанное произведение компланарных векторов  . Это — критерий компланарности трёх векторов.

• Компланарные векторы — линейно зависимы. Это — тоже критерий компланарности.

• Существуют действительные числа   такие, что   для компланарных  , за исключением случаев   или  . Это — переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий компланарности.

• В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора   образуют базис. То есть любой вектор   можно представить в виде:  . Тогда   будут координатами   в данном базисе.

Билет №3

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов  ,   обозначается символом   (порядок записи сомножителей безразличен, то есть  ).

Если угол между векторами  ,   обозначить через  , то их скалярное произведение можно выразить формулой

 (1)

Скалярное произведение векторов  ,   можно выразить также формулой

, или  .

Из формулы (1) следует, что  , если   - острый угол,  , если   - тупой угол;   в том и только в том случае, когда векторы   и   перпендикулярны (в частности,  , если   или  ).

Скалярное произведение   называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом  . Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

.

Если векторы   и   заданы своими координатами:

,  ,

то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

.

Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

.

Угол   между векторами

,  ,

дается формулой  , или в координатах

.

Проекция произвольного вектора   на какую-нибудь ось u определяется формулой

,

где   - единичный вектор, направленный по оси u. Если даны углы  ,  ,  , которые оси u составляет с координатными осями, то   и для вычисления вектора   может служить формула

.

Свойства скалярного произведения: Скалярный квадрат вектора: 

     Свойства скалярного произведения:             

     Скалярное произведение в координатах 

     Если     то   

     Угол между векторами 

       

   Определение угла φ между ненулевыми векторами а = (a_x; a_y; a_z) и b=( b_х; b_у; b_г):

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а и b:

Билет №4

Векторным произведением вектора   на вектор   называется вектор, обозначаемый символом   и определяемый следующими тремя условиями:

1). Модуль вектора   равен  , где   - угол между векторами   и  ;

2). Вектор   перпендикулярен к каждому из вектора   и  ;

3). Направление вектора   соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы  ,   и   приведены к общему началу, то вектор   должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, больой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору  ), а указательный - по второму (то есть по вектору  ).

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

.

Модуль векторного произведения   равен площади S параллелограмма, построенного на векторах   и  :

.

Само векторное произведение может быть выражено формулой

,

где   - орт векторного произведения.

Векторное произведение   обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы   и   коллинеарны. В частности,  .

Если система координатных осей правая и векторы   и   заданы в этой системе своими координатами:

,  ,

то векторное произведение вектора   на вектор   определяется формулой

,

или

.