2.6 Регрессионный анализ экспериментальных данных. Метода наименьших квадратов.

Основной характеристикой вероятностной связи между случайной величиной Y и неслучайной х является регрессия, т.е. зависимость математического ожидания Y от х. График этой зависимости называется линией регрессии. Регрессионный анализ – нахождение этой зависимости по отдельным значениям величин, как правило, по экспериментальным точкам.

При анализе предполагают, что точно или приближенно соблюдаются следующие правила:

а) результаты измерений y₁, y₂, y₃, … , y_n представляют собой выборку объемом n из нормально распределенной генеральной совокупности значений Y;

б)дисперсия случайной величины Y для любого значения независимой переменной х является постоянной;

в)независимая переменная х имеет малую ошибку по сравнению с ошибками результатов наблюдений;

г)вид функциональной зависимости (x) предварительно постулируют на основе каких-либо теоретических или практических зависимостей или выбирают в виде полинома.

Линейная зависимость между величинами или их логарифмами является наиболее распространенной. Оценкой линии регрессии является эмпирическая линия регрессии, уравнение которой имеет вид

(54)

где - оценки математического ожидания и коэффициентов регрессии соответственно.

Коэффициенты регрессии и находят методом наименьших квадратов, в основу которого положено требование минимизации квадратов отклонений результатов измерений случайно величины от линии регрессии

(55)

Или после подстановки :

(56)

где - реализация случайной величины в i-м измерении;

- значение независимой переменной i-м измерении;

n – количество измерений.

Известно, что минимум функции соответствует равенству нулю частных производных по всем неизвестным:

(57)

(58)

Раскрывая скобки, проводим суммирование и после преобразований получаем систему нормальных уравнений

, (59) = . (60)

Из решения системы получаем формулы для коэффициентов :

, (61)

(62)

Уравнение эмпирической кривой нелинейной регрессии второго порядка имеет вид

(63)

По аналогии с линейной регрессией методом наименьших квадратов составляются нормальные уравнения

, (64)

(65)

= . (66)

Решая систему нормальных уравнений, определяем коэффициенты регрессии .

В изложенной выше форме регрессионный анализ применяют для обработки результатов пассивного эксперимента, т.е. эксперимента, в котором невозможно назначать и поддерживать на выбранном уровне значения неслучайной величины. Более эффективным является активный эксперимент, позволяющий применять математическое планирование эксперимента и тем самым уменьшать время и число опытов.