2.4.4 Доверительные границы для параметров законов распределения и показателей надежности

При обработке эмпирических данных о надежности часто требуется найти не только точечную оценку, но и ее точность и достоверность. Иными словами, требуется определить, к каким случайным ошибкам может приводить, например, замена параметра его оценкой. Оценка α является случайной величиной, поэтому можно узнать определенную вероятность того, что истинное значение параметра α заключено между верхней α_в и нижней α_н доверительными границами. При этом

Вер (49)

На практике основной интерес представляет односторонняя вероятность того, что параметр не меньше нижней или не больше верхней границы. Первое условие, в частности, относится к вероятности безотказной работы и средней наработке на отказ, второе – к среднему времени восстановления.

2.5 Корреляционный анализ экспериментальных данных

При анализе результатов экспериментальных исследований и контрольных измерений часто приходится рассматривать не только распределение одной случайной величины, но и взаимную связь двух случайных величин. Эти величины могут быть независимыми, могут быть связанными функционально или стохастически (вероятностно).

Две случайные величины являются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от значения, которое приняла другая. Такими величинами можно считать, например, предел выносливости материала детали и теоретический коэффициент концентрации напряжений в опасном сечении детали.

Величины являются функционально зависимыми, если при известном значении одной можно точно указать значение другой. Так связаны, например, напряжения и деформации в упругодеформируемых деталях.

Наконец, случайные величины являются связанными вероятностной зависимостью, если известному значению одной величины соответствует не конкретное значение, а закон распределения другой. Вероятностные зависимости имеют место, когда величины зависят не только от общих для них, но и от разных случайных факторов. Они характеризуют тенденцию изменения одной случайной величины в зависимости от изменения другой. Они могут быть более или менее тесными в пределах отсутствия зависимости и функциональной зависимости. Очень наглядным примером вероятностной связи может служить зависимость между массой и ростом человека. В технике примером являются связи между характеристиками материалов и между параметрами отдельных узлов машины.

Изучение вероятностных зависимостей между случайными величинами составляет предмет корреляционного анализа, или, кратко, корреляции. При корреляционном анализе определяют форму связи (прямолинейная или криволинейная) и силу или тесноту связи.

Полная информация о вероятностной связи двух случайных величин представляется совместной плотностью распределения f(x,y) или условными плотностями распределения f(x/y), f(y/x), то есть плотностями распределения случайных величин X и Y при задании конкретных значений у и х соответственно.

Для независимых случайных величин совместная плотность распределения f(x,y) равна произведению плотностей распределения случайных величин Х и Y :

f(x,y)=f_x(x)f_y(y) (50)

Основными характеристиками вероятностных зависимостей являются корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционный момент (или момент связи) двух случайных величин X и Y – это математическое ожидание произведения центрированных случайных величин

(51)

где и - математические ожидания случайных величин X и Y.

Корреляционный момент одновременно характеризует связь между случайными величинами и их рассеяние. По своей размерности он соответствует дисперсии для независимой случайной величины.

Если случайные величины независимы, то корреляционный момент равен нулю, так как его можно представить как произведение центральных моментов случайных величин, которые равны нулю.

Если хотя бы одно из случайных величин имеет малое рассеяние, то корреляционный момент мал даже при тесной зависимости между случайными величинами. Поэтому для выделения характеристики связи между случайными величинами переходят к коэффициенту корреляции r_xy:

, (52)

где и – средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты зависимости и может изменятся в пределах от минус 1 до 1. Чем ближе его значение к нулю, тем эта связь слабее. При r_xy=1 или r_xy=-1 статистическая линейная связь становится функциональной. При значениях близких к нулю линейная корреляционная связь отсутствует. Для независимых случайных величин также r_xy=0.

При более подробном анализе вероятностной связи определяют условные математические ожидания случайных величин, то есть математические ожидания случайных величин Y и X при заданных конкретных значениях х и у соответственно.

Зависимость условного математического ожидания от х называют регрессией Y по X. Зависимость от у соответствует регрессии X по Y.

Для нормального распределения величин X и Y уравнение регрессии X по Y имеет вид

(53)

где _y – математическое ожидание Х для некоторого заданного значения y_i.

Аналогичным образом записывается уравнение линии регрессии Y по X. В общем случае эти две линии регрессии не совпадают. Они сливаются только тогда, когда

Таким образом, корреляционный анализ дает возможность объективно оценивать влияние различных конструктивных и технологических факторов на надежность.