Лекции по квантовой механике_1 / Lekciya6

Лекция 6

Зависимость средних от времени. Интегралы движения. Законы сохранения и симметрии. Сохранение четности

Эволюция квантовой системы во времени определяется временным уравнением Шредингера

(1)

Поскольку это уравнение является уравнением первого порядка по времени, для однозначного нахождения решения необходимо задать волновую функцию системы в начальный момент времени

Как было показано на предыдущей лекции, в случае, когда гамильтониан не зависит явно от времени, общее решение уравнения (1) может быть найдено в квадратурах

(2)

где - собственные функции оператора Гамильтона, - соответствующие собственные значения, - произвольные постоянные. Таким образом, для нахождения всех возможных решений временного уравнения Шредингера необходимо знать все решения уравнения на собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона

(3)

По этой причине уравнение (3) играет для квантовой механики столь же фундаментальное значение, что и уравнение Шредингера, и потому (?) также называется уравнением Шредингера. Чтобы не путать эти два (совершенно разных) уравнения первое принято называть временным уравнением Шредингера, второе – стационарным уравнением Шредингера.

Чтобы исследовать зависимость средних от времени найдем оператор производной физической величины по времени.

Пусть есть некоторая физическая величина и ей соответсвует оператор . Найдем, какой оператор будет соответствовать величине , то есть найдем вид оператора .

По определению в любом состоянии должно быть выполнено следующее равенство:

(4)

Далее воспользуемся квантовомеханической формулой для средних и временным уравнением Шредингера. В результате получим следующее.

В правой части формулы (4):

(5)

где - искомый оператор производной величины по времени.

В левой части (4):

(6)

Сравнивая (5), (6) и учитывая, что равенство (4) должно быть справедливо в состоянии с произвольной волновой функцией , заключаем:

(7)

Из формулы (7) следует, что если оператор некоторой физической величины не зависит явно от времени и коммутирует с оператором Гамильтона, то среднее значение данной физической величины не зависит от времени в любом состоянии, поскольку производная от среднего значения равна нулю.

Здесь можно провести определенную аналогию с классической механикой. В классической механике для производной функции динамических переменных – координат и импульсов – по времени справедливо соотношение:

где - функция Гамильтона, - скобка Пуассона функции Гамильтона и функции . Из этой формулы следует, что при переходе от квантовой механики к классической коммутатор операторов переходит в их классическую скобку Пуассона

В квантовой механике интегралами движения называют такие физические величины, средние значения которых в любых состояниях не зависят от времени. Из формулы (4) следует, что для того чтобы физическая величина была интегралом движения оператор этой величины не должен не зависеть явно от времени и должен коммутировать с оператором Гамильтона.

Поскольку факт коммутации ряда операторов физических величин с оператором Гамильтона следует из свойств симметрии пространства-времени, поэтому в квантовой механике (так же, как и в классической механике) существование ряда интегралов движения связано с симметриями пространства-времени.

Однородность времени и закон сохранения энергии.

Опыт показывает, что в инерциальных системах отсчета время однородно, т.е. законы движения не зависят от выбора начала отсчета времени. А это значит, что время явно в законы движения не входит. Из однородности времени следует, что гамильтониан не зависит явно от времени. А так как гамильтониан сам с собой коммутирует, то энергия является интегралом движения. (Отметим, что этот результат в точности согласуется с классическим: энергия классической механической системы сохраняется, если ее функция Гамильтона не зависит от времени).

Однородность пространства и закон сохранения импульса.

Как показывает опыт, пространство в инерциальных системах отсчета однородно (все точки эквивалентны). Значит, законы движения инвариантны относительно преобразований параллельного переноса. Любой конечный перенос является композицией бесконечно малых переносов, поэтому рассмотрим бесконечно малую трансляцию:

(8)

И функция , и функция удовлетворяют временному уравнению Шредингера, поэтому

(9)

Отсюда следует, что

и, следовательно, суммарный импульс системы есть интеграл движения.

Закон сохранения четности.

Назовем преобразованием инверсии (или четности) оператор, который следующим образом действует на произвольную функцию:

(10)

Очевидно, оператор четности имеет два собственных значения - это +1 и –1. Действительно, подействуем на уравнение на собственные значения и собственные функции оператора инверсии

(11)

оператором инверсии (здесь - собственное значение оператора инверсии, - отвечающая ему собственная функция)

(12)

В результате с учетом того, что, имеем

(13)

Очевидно, собственные функции, отвечающие собственному значению - любые четные функции, отвечающие собственному значению - любые нечетные. Среднее значение оператора четности в любом состоянии

(14)

показывает, насколько волновая функция этого состояния близка к четной или нечетной функции. Действительно, если волновая функция четная из (14) и условия нормировки получаем, что . Если волновая функция нечетная - .

Рассмотрим частицу, движущуюся в некотором потенциале . Если потенциальная энергия не меняется при преобразовании инверсии, то оператор инверсии коммутирует с гамильтонианом . В этом случае четность является интегралом движения. В частности, если потенциальная энергия четная функция, а волновая функция частицы в начальный момент времени имеет определенную четность (является либо четной, либо нечетной функцией координат), то она останется таковой и любой последующий момент времени.

В заключение этой лекции подчеркнем, что для сохранения физической величины в квантовой механики нужна независимость от времени ее среднего значения, результаты же отдельных измерений могут быть различными. Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим состояние

(15)

где и - собственные значения не зависящего от времени оператора Гамильтона, и - отвечающие им нормированные собственные функции. Согласно основным принципам квантовой механики энергия в состоянии (15) определенного значения не имеет, и при измерениях могут быть получены два значения и с одинаковыми вероятностями. Это значит, что мы не можем утверждать, что результаты любых измерений энергии будут одинаковыми. Можно утверждать, что если выполнить много измерений над ансамблем тождественных квантовых систем с волновой функцией (12) в некоторый момент времени и усреднить эти результаты, то это среднее значение не будет зависеть от времени. Для рассматривае6мого состояния согласно основным принципам квантовой механики имеем

(16)

5