16. Теорема о необходимом условии существования локального экстремума функции двухпеременных.

Если функция z = z(x;y) дифференцируема в точке M0(x0;y0) и имеет в этой точке локальный экстремум, то все частные производные первого порядка обращаются в этой точке в нуль:

∂Z / ∂Y = ∂Z / ∂X = 0 (в т. М0)

Доказательство:

Докажем, например, равенство нулю частной производной ∂Z / ∂X.

Зафиксируем значения переменных Y, положив их соответственно равными Y0.

Тогда функция z =z (x0;y0) является функцией одной переменной X;

Эта функция имеет в точке X = X0 локальный экстремум и производную по аргументу X, которая и является частной производной ∂Z / ∂X.

Напомним, что согласно теореме Ферма, если дифференцируемая функция одной переменной X имеет в точке X0 локальный экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю. Аналогично доказывается равенство нулю остальных частных производных.

17. Теорема: необходимый признак дифференцируемости фнп (существование всех частныхпроизводных).

Если функция дифференцируема в точке M₀, то в этой точке у нее существуют все частные производные и , , i=1,…n.

Доказательство:

Пусть функция дифференцируема Z = f (x, y)

∆Z = A*∆x + B*∆y + E₁*∆x + E₂*∆y

Предположим, что ∆y = 0

= = = = A

Предположим, что ∆x = 0

= = B

Ч.т.д.

20. Теорема о непрерывности дифференцируемой фнп в точке.

Если функция u = f(x₁, x₂, …, x_n) дифференцируема в точке M₀, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

Пусть u = f(x₁, x₂, …, x_n) – дифференцируема

) = 0 => непрерывна