12. Достаточные условия выпуклости вогнутости
Если функция у = f(х) дважды дифференцируема на некотором промежутке (а, b), причем f "(х) < 0) для любого х Э (а, b), то на этом промежутке график функции выпуклый, если f "(х) > 0, то график функции вогнутый на промежутке (а, b).
Доказательство. Возьмем произвольную точку х0 Э (а,b) и проведем касательную в точке х0.
Теорема будет доказана, если установим, что все точки графика функции f(x) лежат ниже (выше) касательной A x Э(a,b).
График функции f(x) по формуле Тейлора можно представить в виде: f(x) = f(x0) + f '(x0)(х -х0)+( f "(x0)(x -х0)2)/2!, х<с<х0.
Остаточный член записан в форме Лагранжа.
Уравнение касательной проведенной через точку х0 запишем в виде:
yкас = f(x0) + f '(x0)(x-x0).
Рассмотрим разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении х:
f(x)-yкас = (f "(c)(x-x0)2)/2!
Если f "(c) > 0, то f(x) - укас >= 0, следовательно, f(x) >= укас. Т. е. кривая f{x) выше касательной для любого х Э (а,b), вогнутая.
Если f "(c)<0, то f(x)-yKac<=0, следовательно, f(x)<=yKac. Т.е. кривая f(x) ниже касательной для любого х Э (а,b), выпуклая.
13. Критерий существования наклонной асимптоты
Для того чтобы прямая y = kx + b была наклонной асимптотой необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы
lim f(x)/x = k, lim [f(x)-kx] = b.
х->± ∞ х->± ∞
Доказательство.
Необходимость. Пусть y= kx + b наклонная осимптота при х→+∞. Тогда имеет место равенство f(x) = kx + b + α(x), α(x)→0 при x→+∞. Рассмотрим
Lim (x→+∞) = {f(x)/x = kx + b + α(x) / x = ( k + b/x + α(x) / x )} = k
Рассмотрим
Lim(x→+∞) [ f(x) – kx ] = Lim(x→+∞) [ b + α(x) ] = b
Таким образом, если прямая y = kx + b наклонная асимптота, то пределы существуют.
Достаточность. Пусть существуют пределы
Lim (x→+∞) f(x) / x = k и Lim (x→+∞) [ f(x) – kx ] = b.
Тогда из второго равенства следует, что
F(x) – kx = b + α(x) , где α(x)→0 при х→+∞, т.е. f(x) = kx + b + α(x) и y = kx +b наклонная осимптота.
Аналогично рассматривается случай x→-∞
14. Теорема об инвариантности формы первого дифференциала функции двух переменных
Если функция z = f(x;y) дифференцируема в точке (xo;yo) и имеет в этой точке частные производные, тогда
dz
=
dx
+
dy
т.е. форма записи полного дифференциала функции z = f(x;y) двух (и более) переменных не зависит от того, является ли x и y независимыми переменными , или функциями других независимых переменных.
Д-во:
Пусть z = f(x(u;v);y(u;v)) .
Найдем
dz
=
du
+
dv
=
du
+
dv
=
+
=
dx
+
dy
15. Понятие градиента. Свойства градиента (3 свойства доказать)
Градие́нт (gradientis —
шагающий, растущий) — вектор,
своим направлением указывающий
направление наискорейшего возрастания
некоторой величины 
,
значение которой меняется от одной
точки пространства к другой (скалярного
поля), а по величине (модулю) равный
быстроте роста этой величины в этом
направлении.
Пусть дана функция . U=f(x,y,z) определенная и дифференцируема в некоторой области Д.
Градиентом функции называется вектор проекции которого на оси координат равны соответствующим частным производным.
grad U=(∂U/∂х)i+(∂U/∂у)j+(∂U/∂z)k
Линией уровня называется линия на которой функция принимает постоянное значение u(x,y)=с. Геометрический смысл градиента состоит в том что градиент указывает направление наибольшего изменения функции.
Свойства градиента:
1. Производная по направлению имеет МАХ значение в направлении совпадающем с градиентом.
2. Производная в направлении ⊥ градиенту равно 0.
3. Градиент ⊥ линиям уровня.
Доказательство:
1) U’L(M0) = |grad U (M0)| * cos (grad U (M0) ^ L0) => U’L(M0) имеет максимальное значение при cos (grad U (M0) ^ L0) = cos 0 = 1 => grad сонаправлен с L0 => U’L(M0)max = |grad U (M0)|, a U’L(M0)min = -|grad U (M0)|
Ч.т.д.
2) Исходя из доказательства первого, имеем: U’L(M0) = |grad U (M0)| * cos (grad U (M0) ^ L0). Если направление перпендикулярно grad, то угол равен Pi/2 => cos Pi/2 = 0 => U’L(M0) = 0
3)U(M) = const, то есть U(x, y, z) = const – поверхность уровня. Координаты вектора нормали к U(M) в M0 :
N = {U’x(M0); U’y(M0); U’z(M0)} - они же координаты градиента в точке M0 . Ч.т.д.