1. Теорема о непрерывности и дифференцируемости функции одного аргумента в данной точке.

Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х0. Дадим в этой точке аргументу приращение х. Функция получит приращение у.

Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х0.

Следствие. Если х0 – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.

2. Теорема о производной сложной функции.

Пусть ф-ия g(x) имеет пр-ую в т. , а ф-ия F(g) имеет пр-ую в т. .Тогда ф-ия F(g(x))будет иметь пр-ую в т. и справедливо соотношение [Fg(x))]’ = F’(g(x))*g’(x)~

х- независимая переменная, g промежуточная переменная.

Доказательство: Пусть аргумент х получил приращение .Тогда g(x) получит приращение

Заменим тождество: найдем предел при .Если ,то т.к. ф-ия дифференцируема, следовательно непрерывна.

(F(g(x)))’=

3. Теорема о производной произведения двух функций.

Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: (u•ν)'=u'ν+v'u.

Доказательство.

Пусть y = uv.Тогда

т. е. (u•ν)'=u'•ν+u•ν'.

При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи непрерывности и дифференцируемости: так как функции u=u(х) и ν=ν(х) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому ∆ν→0 и ∆u→0 при ∆х→0.

Можно показать, что:

а)  (с•u)'=с•u', где с = const; б)  (u•ν•w)'=u'v•w+u•v'•w+u•v•w'.

4. Необходимый признак дифференцируемости в точке.

Для того чтобы функция F(x) была дифференцируемой в точке x , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная F’(x)

Доказать эквивалентность утверждений: «функция f(x) дифференцируема в точке » и «функция f(x) имеет производную в точке »

Доказательство: 1) Если функция f(x) дифференцируема, то её приращение в точке представимо в виде

. Разделим последнее выражение на приращение аргумента и устремим его к нулю: 2) Пусть функция f(x) имеет производную в точке . Это значит, что существует и конечен предел

Определение предела по Коши:

Перепишем последнее неравенство как

5. Теорема Ферма.

Пусть ф-ия F(x) определена и непрерывна на промежутке [a,b] и в некоторой внутренней т. этого промежутка достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Если в этой т. сущ-ет производная , то она равна нулю : F’( =0

Доказательство: Пусть в т. , F( ) – наиб. знач. a< <b

Пусть подходит к т. слева => x< ;

F(x)<F( )=> F(x) – F( )<0 и x< => x- <0

Пусть к т. подходит справа ( )

F(x)<F( )=> F(x)-F( <0 , x> => x- >0

Геометрический смысл теоремы: в т. наибольшего или наименьшего значения ф-ии касат. к графику ф-ии паралл. оси Ox.

6. Теорема Ролля (о корнях производной)

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b). Тогда на интервале (a;b) существует точка с, a < c < b, в которой производная функции f(x) равна нулю, т.е. f `(c)=0

Д-во:

По свойству неопределенных функций на отрезке функция f(х) принимает на отрезке [a;b] наибольшее и наименьшее значение, обозначим соответственно M,m.

M=m => f(x) = M = m - f(x) = c – const, f `(x) = c` = 0.

M≠m => f(a) = f(b).

Пусть M или m – достигается во внутренней точке. По теореме Ферма, f `(c) = 0.