38. Вложение множества натуральных чисел в кольцо целых чисел. Множество положительных целых чисел: определение, корректность определения, описание

Определение: Будем говорить, что целое число положительное, если а>b. И будем обозначать ₊ - множество всех положительных целых чисел.

Свойство1: (корректность определения) Определение корректно.

Доказательство: , a>b

доказать:

(a,b) ~ : a+ =b+ , a>b .

Лемма1: Множество ₊={[1+k;1]| k }

Доказательство: ,1+k>1 ₊

₊ c>d

(c;d) ~ (c+1;d+1)=(d+k+1;d+1) ~ (k+1;1).

Свойство2: ₊

Доказательство: k≠n [(1+k;1)]≠[(1+n;1)] – отображение и иньекция

[(1+n;1)].

39. Биекция ₊ сохранение отношения «>», суммы и произведения. Отображение f^-1 как вложение N в Z

Теорема1: Отображение ₊ сохраняет отношение «больше чем», «сумму», «произведение».

Доказательство: α>β f(α)>f(β)

α= [(1+k;1)] β=[(1+n;1)]

α>β (1+k)+1>1+(1+n) k+2>n+2 k>n

f(α)>f(β)

• f(α+β)= f(α)+f(β)

α= [(1+k;1)] β=[(1+n;1)]

α+β=[1+k+1+n;1+1]=[(1+k+n;2)]

f(α+β)=k+n= f(α)+f(β)

• f(αβ)=f(α)f(β)

α= [(1+k;1)] β=[(1+n;1)]

αβ=[((1+k)(1+n)+1;1+k+1+n)]=[(1+kn;1] f(α*β)=k*n= f(α)*f(β).

Следствие: Отображение f^-1: ₊ :k [(1+k;1)] является инъекцией сохраняет сумму, произведение и отношение «>».

Таким образом f^-1 является вложением и позволяет нам рассматривать как подмножество в .

40. Целое число как разность двух натуральных чисел. Отрицательные и положительные числа. Архимедовость и дискретность кольца целых чисел

Свойство 1(архимедовость кольца целых чисел): ,, >0 n N:_n>

Доказательство: >0 ,N

0 n=1 

Свойство 2(дискретность множества целых чисел): каждое целое число  имеет соседнее число +1, т.е. не  : <<+1

Доказательство: N +1=’N, для натуральных чисел дискретность была доказана

N (-)

00

f:N{0}{-N}{0}: -

Далее рассуждаем от противного: если бы для отрицательных чисел выполнялось –(+1)<-<-, то тогда бы т.к. f биекция<<+1 ?!

Нет натуральных чисел между 0, 1 и -1,0

Нет натуральных чисел перед 1 поэтому не существует натурального числа  между 0 и 1.

-1, 0 – не существует отрицательного целого числа - между -1 и 0.

Свойство 3:

1. >+>+

2. > >+>+

3. >>0>

4. >->0

5. =0=0=0

Доказательство:

1. =[(a,b)], =[(c,d)] , =[(m,n)]

>a+d > b+c

+=[(a+m; b+n)]

+=[(c+m; d+n)]

Доказать: +>+

a+m+d+n> b+n+c+m

a+d>b+с

> 

Свойство 4: Множество целых чисел счетно.

Доказательство:

41. Определение рациональных чисел как классов эквивалентности

Определение:

Пара , если ad=bc

Теорема 1: Отношение « » таким образом, определенное является отношением эквивалентности.

Доказательство. 1) Рефлексивность:

2) Симметричность:

3) Транзитивность:

Свойство 1:

Доказательство: abc=bac

Следствие:

Доказательство: симметричность относительно « »

Определение: рациональными числами будем называть классы эквивалентности

Обозначения: