28. Равномощные множества. Отношение эквивалентности «быть равномощным». Отрезок натурального ряда. Конечные и бесконечные множества

Определение 1: множества X и Y называются равномощными, если между ними взаимно-однозначное соответствие (биекция).

Замечание 1: конечные равномощные мн-ва - это мн-ва с одинаковым кол-вом эл-тов.

Замечание 2:

Примеры счетных мн-в, но мощность мн-ва действ. чисел. R не является счетным мн-вом.

Св-во: отношение «быть равномощными» является быть отношением эквивалентности.

Док-во:

• Симметричность

,биекция биекция

• Транзитивность

биекция

биекция

биекция .

Определение 2: пусть n . Отрезком натурального ряда называется множество

Примеры:

Определение 3: мн-во Х равномощное отрезку называется конечным мн-вом, число n называется количеством элементов конечного множества.

Множество, которое не является конечным, называется бесконечным.

29. Теорема о равномощности конечного множества только одному отрезку натурального ряда

Теорема 1: конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда

Док-во: отрезок не может быть равномощным отрезку , если m n

ММИ(n)

n=1

Противоречие

n=k

n=k+1

если m=1, то !?

если m>1

можем считать f(k+1)=l+1

Рассмотрим ограничения отображения , - биекция, то ни один из элементов отрезка не отображается в элемент l+1.

f- инъекция – инъекция

– биекция .

Пусть , число n называется количеством элементов множества Х.

30. Лемма о наибольшем и наименьшем элементе в конечном множестве. Бесконечность множества натуральных чисел

Теорема 2: каждое непустое конечное множество содержит наибольший и наименьший элемент.

Док-во: ММИ по количеству элементов n

n=1

n=2 A,B

A>B, A<B,A=B

n=k каждое конечное множество содержит наибольший и наименьший элемент

n=k+1

По предположению индукции в множестве выберем наибольший элемент В. Сравниваем А и В и выбираем наибольший элемент. Аналогично находим наименьший элемент множества Х.

Теорема 3: множество всех натуральных чисел бесконечно.

Док-во:

ОП по теореме 2 в каждом конечном множестве существует наибольший элемент А

А+1>A?!

31. Счетность множеств целых и рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел

32. Отношение эквивалентности на множестве n2. Определение целого числа как класса эквивалентности на n2. Примеры

Определение: Пусть (a;b), (c;d) . Пара .

Пример: (5;3) (8;6) (9;7) (130;128).

Теорема: Отношение (эквивалентности) является отношением эквивалентности.

Док-во:

рефлексивность:

симметричность:

транзитивность:

 (сложив обе части получим)

ч.т.д.

Свойство:

Док-во:

Определение: (через абстракцию)

Целым числом будем называть класс эквивалентности относительно отношения эквивалентности на  Множество всех классов эквивалентности называется множеством целых чисел и обозначается Z.

/

Пример: