1.Множество натуральных чисел n. Аксиомы Пеано

Числовая с-ма – числовое мн-во, на кот.заданы операции и отношения.

Сначало определяется аксиоматически с-ма нат.чисел. На ее основе строится с-ма целых чисел, а затем с-ма рац.чисел.

Мн-вом нат.чисел – наз.непустое мн-во N для эл-тов которых лпределено отношение «непосредственно следует за»(число,кот. непосредственно следует за a обозн. ), т.е определено отношение, кот.удовл.след.аксиомам:

А1: нат.число единицы, кот.непосред. не следует ни за каким нат.числом.

A2: .Для нат.числа единств. нат.число ,кот.непосредственно следует за ним.

A3: . Каждое нат.число непоср. Следует не более чем за одним нат.числом.

A4:(аксиома индукции)

Мн-во М содержит все нат.числа.

Аксиомы А1-А4 наз. Аксиомами Пеано.

2.Независимость аксиом Пеано

А1: нат.число единицы, кот.непосред. не следует ни за каким нат.числом.

A2: .Для нат.числа единств. нат.число ,кот.непосредственно следует за ним.

A3: . Каждое нат.число непоср. Следует не более чем за одним нат.числом.

A4:(аксиома индукции)

Мн-во М содержит все нат.числа.

Аксиомы А1-А4 наз. Аксиомами Пеано.

Независимость А1 Независимость А2 Независимость А3 НезависимостьА4

А1 не выполняется

3. Принцип полной математической индукции. Обобщенный принцип полной математической индукции. Примеры доказательства методом математической индукции

А1: нат.число единицы, кот.непосред. не следует ни за каким нат.числом.

A2: .Для нат.числа единств. нат.число ,кот.непосредственно следует за ним.

A3: . Каждое нат.число непоср. Следует не более чем за одним нат.числом.

A4:(аксиома индукции)

Мн-во М содержит все нат.числа.

Аксиомы А1-А4 наз. Аксиомами Пеано.

Замеч.Из акс.А4 следует законность док-в методом мат.индукции. При этом акс.инд.примен. в след.виде:

Теор.(принцип полной мат.инд) Утверждение T(n), n N верно , если вып-ся след. условия:

1)Т(1)-истина; 2) : если T(n)-истина, то T(n’)-истина

Д-во:

Замеч.Док-во на основ.принципа пол.мат.инд. наз. док-вом методом полной мат.инд. При этом говорят кратко докажем T(n) индукции по n. При этом: база инд: Т(1)-истина?

Предп.инд: Т(n); мат.инд: T(n) T(n’)

Пример.Д-ть мнтодом полной мат.инд., что сумма n первых нечетных нат.ч.= .

Решение: T(n): 1+3+5+..+(2n-1)=

1. T(1): 1= – истина; 2) T(n): 1+3+..+(2n-1)=

T( )=T(n+1)=1+3+..+(2n-1)+(2n+1)=

1+3+..+(2n-1)+(2n+1)=

4. Сложение натуральных чисел как бинарная алгебраическая операция и как функция. Примеры. Свойство сокращения

Опр.1 Сложением на множестве натуральных чисел называется бинарная алгебраическая операция . Она обозначается знаком «+» и результат называется суммой которая удовлетворяет следующим условиям:

1) 2)

Пример: Найти сумму 2+5

Опр.2 Сложением натуральных чисел называется функция .

[a+b называется суммой натуральных чисел a и b причем выполняются: 1) 2) ]

При фиксированном числе а функция f определяет функцию , которая удовлетворяет следующим условиям

( 1) (2)

Теорема (свойство сокращения)

Доказательство: ММИ по (c)