Лекции по квантовой механике_1 / Lekciya38

Лекция 38

Разложение волновой функции задачи рассеяния по сферическим функциям. S-матрица. Фазовая теория рассеяния

Наряду с теорией рассеяния, изложенной в предыдущей лекции, часто используется другой вариант теории, именуемый фазовой теорией рассеяния. Основная идея этой теории заключается в разложении волновой функции задачи рассеяния по состояниям с определенным моментам (по сферическим функциям). В результате и для амплитуды рассеяния получается разложение на так называемые парциальные амплитуды, знание которых позволяет свести вычисление амплитуды рассеяния к суммированию бесконечного ряда. Изложим подробно эту теорию рассеяния.

Пусть рассеяние частиц происходит на сферически симметричном потенциале, и частицы падают на потенциал вдоль оси . Тогда на больших расстояниях от рассеивающего центра волновая функция задачи рассеяния имеет вид «плоской волны плюс расходящейся сферической волны»:

(1)

где - амплитуда рассеяния. Разложим функцию (1) по сферическим функциям. При этом заметим, что благодаря выбранной геометрии задачи (падение частиц вдоль оси ) угол рассеяния в формуле (1) есть полярный угол сферической системы координат, а от азимутального угла в формуле (1) вообще ничего не зависит. Поэтому, фактически, разложение будет производится по функциям , которые с точностью до множителя совпадают с полиномами Лежандра от .

Начнем с разложения функции . Можно показать, что разложение функции по полиномам Лежандра имеет вид:

(2)

С другой стороны, общее решение стационарного уравнения Шредингера в поле с центральной симметрии, не зависящее от переменной , на больших расстояниях от области действия потенциала может быть записано в виде

(3)

где - коэффициенты разложения, - некоторые действительные фазовые сдвиги, возникающие из-за взаимодействия рассеивающихся частиц с потенциалом (поскольку в разложении решения (2) свободного уравнения Шредингера эти фазовые сдвиги отсутствуют). Величины называются фазами рассеяния.

Амплитуду рассеяния можно выразить через фазы рассеяния. Для этого найдем разность на больших расстояниях от области действия потенциала. С одно стороны, эта разность есть

(4)

С другой стороны, эта разность определяется разностью формул (2), (3), из которых должна, следовательно, выпасть сходящаяся сферическая волна . Поэтому, вычитая (2) из (3) находим, что

(5)

Подставляя теперь коэффициенты (5) в формулу (3) и вычитая (2) из (3) находим амплитуду рассеяния

(6)

где введено обозначение . Возводя формулу (6) по модулю в квадрат, находим дифференциальное сечение упругого рассеяния

(7)

А интегрируя формулу (7) по углам с использованием ортогональности полиномов Лежандра – формулу для полного сечения рассеяния

(8)

На основе формул (6), (8) иногда вводят парциальные амплитуды рассеяния и парциальные сечения рассеяния . Эти величины определяются как

(9)

(10)

и определяют амплитуду и сечение рассеяния согласно соотношениям

(11)

(12)

Из формул (7), (8) следует, что дифференциальное и полное сечения рассеяния в заданном поле сил выражаются через совокупность фаз рассеяния (число которых счетно: , , , …, но, вообще говоря, бесконечно). Следовательно, для вычисления сечения рассеяния необходимо найти радиальные волновые функции частицы в силовом поле для всех моментов . Рассматривая асимптотику этих функций на больших расстояниях от силового центра, можно найти фазы рассеяния , , , …, а затем по формулам (7), (8) – дифференциальное и полное сечения рассеяния.

Практическая ценность формул фазовой теории рассеяния для эффективного и полного сечения тем выше, чем меньшее число членов ряда играет существенную роль. Докажем, что для малых энергий рассеивающихся частиц это число невелико. Основная идея этого доказательства заключается в том, что частицы с большим моментом движутся в эффективном потенциале

(13)

причем если достаточно быстро спадает с расстоянием, то для достаточно больших моментов и малых энергий центробежный потенциал (второе слагаемое в (13)) может «не пустить» рассеивающиеся частицы в область действия потенциала (в области потенциала могут оказаться только малые «хвосты» волновых функций). Поэтому, фактически частицы с большими моментами не будут «чувствовать» потенциал, следовательно, не будут рассеиваться, следовательно, фазы рассеяния с такими моментами будут равны нулю и не дадут вклад в амплитуду и сечение рассеяния.

Пусть - радиус действия потенциала. Частицы с моментом будут «чувствовать» потенциал, если точка остановки классического движения в центробежном потенциале окажется больше . Эта точка находится из условия

(14)

отсюда находим

(15)

Отсюда следует, что для фиксированной энергии потенциал будут «чувствовать» частицы с моментами . Частицы с большими моментами будут иметь малые фазы рассеяния и не давать вклад в сечение. Поэтому фазовая теория рассеяния играет важную роль в исследовании рассеяния не слищком быстрых частиц. Для быстрых частиц () в суммах (6), (12) необходимо учитывать множество слагаемых и потому возможности фазовой теории снижаются.

В частности, если частицы медленные () необходимо учитывать только одно слагаемое с моментом, равным нулю (или, как говорят, учитывать только s-рассеяние). В этом случае, как это следует из формулы (7) дифференциальное сечение будет равно

(16)

Из формулы (16) следует, что дифференциальное сечение рассеяние медленных частиц не зависит от угла рассеяния (является изотропным). При увеличении энергии частиц «подключается» p-рассеяние (т.е. в формуле (7) нужно учитывать первое и второе, отвечающее , слагаемое), а сечение зависит от угла как (поскольку первый полином Лежандра есть ). При увеличении энергии частиц начинают играть роль фазы рассеяния более высокого порядка, и сечение становится все более асимметричным.

Введем теперь важнейшее в квантовом описании рассеяния понятие -оператора или -матрицы. Впервые этот оператор был введен В.Гайзенбергом в 1943 г. Асимптотический вид волновой функции задачи рассеяния (1) можно записать в следующем виде, не «привязанном» ни к какой системе координат

(17)

где и - единичные векторы в направлении падения и рассеяния частиц соответственно. Любая линейная комбинация функций (17) с различными векторами падения частиц описывает также некоторый процесс рассеяния. Умножив функцию (17) на произвольные коэффициенты и проинтегрировав по всем направлениям вектора (элемент телесного угла ), получим

(17)

Поскольку расстояние очень велико, экспонента в первом слагаемом является сильно осциллирцющей функцией, и потому значение интеграла определяется только точками . Поэтому

(18)

Перепишем формулу (18) в операторном виде, объединив второе и третье слагаемые

(19)

где буквой обозначен оператор

(20)

а - следующий интегральный оператор

(21)

Оператор называется оператором рассеяния, или матрицей рассеяния или просто -оператором или -матрицей. Смысл -оператора следует из формулы (19): если направить на рассеивающий центр сходящуюся сферическую волну с какой-то угловой амплитудой , которой определяется поток частиц, падающих на рассеивающий центр под разными углами (первое слагаемое в (19)), то после рассеяния мы будем иметь расходящуюся сферическую волну, причем ее угловая амплитуда будет зависеть от амплитуды падающих частиц и собственно рассеяния. Ясно, что зависимость амплитуды рассеянной волны от амплитуды падающей – линейна, и может быть, следовательно записана как результат действия некоторого оператора на амплитуду падающей волны

(22)

где оператор зависит только от рассеяния, или, другими словами, от взаимодействия рассевающихся частиц и рассеивателя, но не зависит от волновой функции падающих частиц. Это и есть -оператор. Таким образом, -оператор – это оператор, переводящий амплитуду падающей волны в амплитуду рассеянной.

По закону сохранения числа частиц полное количество частиц, пересекающих сферу большого радиуса в падающей волне и рассеянной волне – одинаково. Это значит, что падающая и рассеянная волна имеют одинаковую нормировку:

(23)

Поскольку равенство имеет место для любой амплитудной функции , из него следует условие, которому удовлетворяет -оператор

(24)

Таким образом -оператор является унитарным оператором. Подчеркнем, что условие унитарности -оператора является следствием сохранения числа частиц: если бы в области действия потенциала имело бы место рождение или поглощение частиц, то условие унитарности (24) нарушалось бы. (Отметим, условие унитарности -оператора тесно связано с эрмитовостью гамильтониана рассеивающих частиц. В различных разделах теоретической физики, в которых приходится иметь дело с поглощением волн или частиц, например, в оптике, ядерной физике и др., часто вводят потенциалы, несохраняющие число частиц – это так называемые оптические потенциалы. Эти потенциалы являются комплексными и, следовательно, приводят к неэримитовости гамильтониана).

Как отмечалось выше, -оператор зависит от взаимодействия рассевающихся частиц и рассеивателя. Если потенциальная энергия рассеивающихся частиц и рассеивателя сферически симметрична, -оператор коммутирует с оператором орбитального момента. Это связано с тем, что потенциал в этом случае не будет изменять момент падающих частиц (в центральносимметричном поле орбитальный момент сохраняется). Или, другими словами, матрица, отвечающая -оператору в -представлении (-матрица), будет диагональной, причем на главной диагонали в матрице рассеяния, будут размещаться собственные значения -оператора. Из унитарности -оператора следует, что все его собственные значения имеют квадраты модулей, равные единице, и, следовательно, могут быть представлены в виде , где - некоторые действительные числа.

Легко видеть, что эти числа совпадают с фазовыми сдвигами радиальных волновых функций (с фазами рассеяния). Действительно, если в качестве амплитудной функции выбрать полином Лежандра (при этом ), то волновая функция рассеянной волны, с одной стороны, имеет амплитуду

(25)

а с другой, согласно формулам (3), (6) для волновой функции задачи рассеяния имеет следующий вид

(26)

где - фазы рассеяния. Из сравнения (25), (26) заключаем, что диагональные матричные элементы матрицы рассеяния определяются фазами рассеяния. Таким образом, матрица рассеяния в -представлении имеет вид

(27)

где , , , … - фазы рассеяния с моментами 0, 1, 2, …

7