Лекции по квантовой механике_1 / Lekciya10

Лекция 10

Гармонический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции (решение с помощью операторов рождения и уничтожения)

Сегодня мы рассмотрим другой способ решения задачи о гармоническом осцилляторе. Во-первых, этот способ и сам по себе поучительный, а во-вторых, операторы, которые в нем вводятся, используются и в других разделах квантовой механики. И, конечно, давайте забудем сейчас все, что мы получили на предыдущей лекции, за исключением гамильтониана гармонического осциллятора:

(1)

Уравнение на собственные значения имеет обычный вид:

(2)

но явно мы его решать не будем, а исследуем спектр и собственные функции оператора , исходя из свойства так называемой суперсимметрии этого гамильтониана, или, другими словами, матричным способом.

Разделим уравнение на и введем следующие безразмерные величины:

(3)

в координатном представлении:

(4)

С использованием введённых обозначений, уравнение Шредингера можно преобразовать к виду:

(5)

(6)

Операторы и - эрмитовы. Введём неэрмитовые операторы:

(7)

(8)

так как данные обозначения являются стандартными, «крышечки» над ними мы ставить не будем.

Рассмотрим коммутационные соотношения:

(9)

Поэтому из определений операторов и предыдущего равенства следует:

(10)

Равенства (7), (8) можно обратить и выразить операторы выразить через и :

(11)

(12)

Подставляя эти выражения в безразмерный гамильтониан одномерного гармонического осциллятора, получим:

(13)

Возьмём произвольное состояние и найдем среднее значение гамильтониана в этом состоянии:

(14)

Т.к. интеграл заведомо неотрицателен (подынтегральная функция везде неотрицательна), получаем:

(15)

Если мы возьмём состояние , такое что:

(16)

то это состояние - собственное состояние гамильтониана , как это следует из формулы (13), причем это состояние отвечает собственному значению ½ (в безразмерных единицах). Функцию можно найти, решив уравнение (16) (оно является дифференциальным уравнением первого порядка по ). В состоянии величина принимает наименьшее значение. Из (13), (16) получим

(17)

т.к. в собственном состоянии среднее значение совпадает с собственным значением, то энергия основного состояния осциллятора (в безразмерных единицах) есть:

(18)

возвращаясь к размерным величинам согласно формулам (3), получим энергию основного состояния:

(19)

Далее. Пусть - собственное состояние гамильтониана осциллятора, отвечающее собственному значению . Докажем, что функция , которая получается при действии оператора на функцию

(20)

также является собственной функцией оператора , отвечающей собственному значению на единицу меньшему, чем (в безразмерных единицах). Для доказательства подействуем на уравнение

(21)

оператором . Используя коммутационное соотношение (10) и выражение оператора Гамильтона через и (13), получим

(22)

Формула (22) и означает, что . По этой причине оператор называется оператором, понижающим собственное состояние. Аналогично доказывается, что

(23)

то есть оператор является повышающим оператором.

Таким образом, мы уже знаем весь спектр. Если с какого-то собственного значения начать понижать собственные значения, то процедура должна оборваться на конечном числе шагов, т.е. через целое число шагов мы придем к собственному состоянию и собственному значению:

(24)

или

(25)

Возвращаясь к размерным величинам, из (25) получаем окончательное выражение для спектра осциллятора:

(26)

Найдем теперь волновые функции стационарных состояний осциллятора. Из свойств оператора :

(27)

Тогда

(28)

(29)

(30)

Таким образом, все состояния строятся из основного с помощью этой операции. Найдём волновую функцию основного состояния

(31)

Используя явное выражение для понижающего оператора

(32)

получаем из уравнения (31):

(33)

Интегрируя это уравнение, получим:

(34)

(предэкспоненциальный множитель появляется из условия нормировки). Все остальные волновые функции будут нормированными автоматически. Используя явный вид оператора находим рекуррентные соотношения для волновых функций:

(35)

где, как это легко видеть из (34), - некоторый многочлен степени , который называется полином Эрмита.

Так как в безразмерные операторы импульса и координаты входят симметрично, то в импульсном представлении волновая функция имеет подобное (35) выражение:

(36)

Если вернуться к размерным координатам согласно формулам (3), то:

(37)

5