Лекции по квантовой механике_1 / Lekciya14

Лекция 14

Момент импульса: матричная теория

Получим собственные значения операторов проекции и квадрата момента другим способом. Этот способ основан только на коммутационных соотношениях между операторами момента и не использует явные выражения для самих операторов. По этой причине этот способ носит общий характер и может быть использован, в частности, для спинового момента, когда коммутационные соотношения имеют место, а явные выражения для операторов - нет.

Введём следующие операторы:

(1)

С помощью коммутационных соотношений для операторов проекций момента установим коммутационные соотношения для операторов . Имеем:

(2)

(3)

(4)

Здесь использованы коммутационные соотношения для операторов проекций момента импульса и его квадрата. Отметим, что поскольку операторы неэрмитовы, они не отвечают никаким наблюдаемым величинам.

Явные выражения для операторов можно получить из определения оператора момента и формулы (1). В декартовых координатах выражения для проекций момента и приведены в предыдущей лекции. Непосредственно переходя от дифференцирования по декартовым координатам к дифференцированию по сферическим, получим следующие выражения для операторов :

(5)

Пусть, далее, - общая собственная функция операторов и , отвечающая собственным значениям и (сейчас предполагается, что собственные значения операторов квадрата и проекции нам сейчас неизвестны; существование полной системы общих собственных функций операторов и следует из факта их коммутации). Докажем, что функции удовлетворяют уравнениям:

(6)

то есть являются общими собственными функциями операторов и , отвечающими собственным значениям и (либо тождественно равны нулю; в последнем случае уравнения (6) также удовлетворяются).

Для доказательства подействуем операторами на уравнения на собственные значения операторов и :

(7)

(8)

Пользуясь тем, что операторы коммутируют с оператором , поменяем порядок следования операторов в левой части уравнения (1). В результате получим

(9)

В уравнении (8) поменять порядок следования операторов и нельзя, поскольку эти операторы не коммутируют. Выразим входящее в него произведение операторов из коммутационного соотношения (3) и подставим в уравнение (8):

(10)

Раскрывая в (10) скобки и перенося одно из слагаемых в правую часть, получим второе уравнение

(11)

Из уравнений (10), (11) следует, что функции являются собственными функциями операторов и , отвечающими собственным значениям и соответственно, или тождественно обращаются в нуль (в этом случае уравнения (10), (11) также удовлетворяются, а функция, тождественно равная нулю, собственной по определению не является).

По этой причине операторы и называются операторами, повышающим и понижающим проекцию момента импульса частицы на ось .

Далее. Пусть максимальное собственное значение проекции момента на ось при фиксированной величине момента (ясно, что таковое существует). Тогда

(12)

Подействуем на это равенство оператором :

(13)

С другой стороны из определения имеем

(14)

Поэтому равенство (13) сводится к

(15)

Так волновая функция есть собственная функция всех операторов, входящих в это равенство, а также с учётом того, что это состояние с максимальной проекцией момента на ось , равной , получим:

(16)

Отсюда

(17)

где - максимальное значение проекции момента. Действуя далее на функцию оператором , будем получать новые собственные функции

(18)

пока не дойдем до функции с минимальной проекцией. Обозначим эту проекцию . С одной стороны, для числа справедливо равенство

(19)

где - целое число. С другой, для функции выполнено условие

(20)

Действуя на это равенство оператором , получаем:

(21)

Так как функция является собственной функцией операторов и , то из формулы (21) получаем

(22)

или

(23)

Подставляя в формулу (23) из (19) и приравнивая полученное выражение выражению (17), получим для максимально возможного значения проекции момента в состоянии с определенным квадратом момента

(24)

где - целое число. Таким образом из формул (24), (17) и (19) следует, что собственные значение операторов квадрата момента и его проекции на ось определяются соотношениями

(25)

(26)

где - целое или полуцелое число. Никаких других собственных значений эти операторы иметь не могут.

Для построения собственных функций операторов квадрата и проекции момента используем явное выражение оператора (5). Учитывая, что зависимость от азимутального угла волновой функции состояния с максимальной проекцией определяется соотношением , где - некоторая функция полярного угла , из формул (5), (12) получаем для функции

(27)

откуда

(28)

Выражение для сферической функции получаем, действуя на (28), понижающим оператором:

(29)

Аналогично получается и общее выражение для сферической функции

(30)

Рассмотрим теперь свойства четности сферических функций. Поскольку в оператор момента сами декартовы координаты и производные по ним входят в виде билинейных комбинаций, операторы инверсии и момента коммутируют:

(31)

Используя теорему о связи коммутации операторов и одновременной измеримости физических величин, можно сделать вывод, что состояние с определённым моментом и проекцией обладает также определённой чётностью. А поскольку при преобразованиях инверсии сферические координаты преобразуются как

(32)

то

(33)

Найдем четность всех сферических функций. Во-первых, очевидно, что четность сферической функции определяется только моментом и не зависит от проекции момента на ось. Действительно, состояния с различными проекциями связаны друг с другом действием операторов , которые коммутируют с оператором четности. Поэтому достаточно найти четность функции . А это легко сделать, используя явное выражение для сферической функций с максимальной проекцией:

(34)

Из (34) имеем

(35)

Поэтому для любых сферических функций

(34)

6