Лекции по квантовой механике_1 / Lekciya37

Лекция 37

Борновское приближение. Условия применимости. Быстрые и медленные частицы. Примеры

Полученная в конце прошлой лекции формула для амплитуды рассеяния

(1)

не является решением задачи рассеяния, поскольку в подынтегральное выражение в правой части (1) входит неизвестная волновая функция задачи рассеяния . Более того, найти эту функцию, как правило, не удается и приходится прибегать к приближенным методам. Важнейшим из таких приближенных методов является метод Борна (или, как наиболее часто говорят,, борновское приближение). Для построения борновского приближения удобно использовать именно выражение (1).

Основная идея метода заключается в следующем. Пусть потенциальная энергия мала и может рассматриваться как возмущение. Тогда волновая функция задачи рассеяния будет мало отличаться от волновой функции падающих частиц и может быть найдена в виде разложения по степеням потенциальной энергии

(2)

В соответствии с этим рядом возникает и аналогичный ряд по степеням возмущения для амплитуды рассеяния. Причем ясно, что для нахождения амплитуды рассеяния в первом порядке по возмущению нужно в формулу (1) подставить волновую функцию в нулевом порядке по возмущению, то есть функцию падающих частиц . Поэтому в первом порядке по возмущению получаем

(3)

где вектор ( - волновой вектор падающих частиц, направленный по оси , - волновой вектор рассеянных частиц, направленный под углом рассеяния ) – с точностью до множителя есть переданный при рассеянии импульс (иногда вектор называют вектором столкновения). Для упругого рассеяния, которое только и рассматривается здесь, модули волновых векторов и являются одинаковыми.

Разложение (2), которое, фактически, представляет собой теорию возмущений по потенциальной энергии взаимодействия рассеивающей и рассеивающейся частиц, называется борновским разложением, а его первый член - формула (3) для амплитуды рассеяния - представляет собой первое борновское приближение.

Формула (3) дает выражение для амплитуды рассеяния в квадратурах и не требует решать дифференциальное уравнение. Для ее использования достаточно вычислить один интеграл. Обсудим особенности формулы Борна.

Во-первых, зависимость от угла рассеяния и энергии рассеивающихся частиц входит в формулу Борна через вектор столкновения (см. рисунок). Из этого рисунка находим

(4)

То есть в рамках применимости борновского приближения сечение зависит от энергии и угла рассеяния только в виде комбинации (4). В частности, если сечение не зависит от энергии, то оно не зависит от угла рассеяния и наоборот.

При малых энергиях частиц (где - радиус действия потенциала) в области интегрирования в формуле Борна экспоненту можно заменить на единицу , и амплитуда рассеяния определяется соотношением

(5)

то есть не зависит от угла рассеяния (в этом случае говорят, что сечение рассеяния является изотропным) и энергии.

При больших энергиях частиц сечение оказывается резко анизотропным (или, как говорят, «вытянуто» или «направлено» вперед). Это связано с тем, что при больших углах рассеяния экспонента в случае быстрых частиц сильно осциллирует, что приводит к подавлению интеграла. Следовательно, в случае быстрых частиц выполнено неравенство

(6)

Другими словами, при больших энергиях рассеяние происходит в основном в конус с углом раствора

(7)

А поскольку внутри этого конуса сечение не зависит от энергии (при малых углах рассеяния , и экспоненту в формуле Борна можно всегда заменить на единицу, поэтому при малых углах сечение не зависит ни от угла рассеяния, ни от энергии), то полное сечение рассеяния (если, оно сходится) пропорционально , то есть обратно пропорционально энергии частиц.

Остановимся теперь на условиях применимости борновского приближения. Для быстрой сходимости ряда последовательных приближений нужно, чтобы поправка первого порядка к волновой функции была мала по сравнению с волновой функцией нулевого приближения

(8)

Отсюда следует, что если потенциал имеет конечный радиус действия, для применимости борновского приближения амплитуда рассеяния должна быть мала по сравнению с радиусом действия потенциала

(9)

Дальнейшую оценку сделаем на основе формулы Борна для быстрых и медленных частиц.

Медленные частицы . В этом случае из формулы Борна имеем

(10)

где - характерное значение потенциала, и условие (10) дает ограничение на величину потенциальной энергии взаимодействия рассеивателя и рассеивающихся частиц

(11)

Формула (11) имеет простой смысл. Поскольку значение глубины потенциала (11) – это такое значение, при котором в потенциальной яме возникает уровень, то, можно сказать, что борновское приближение работает, если величина потенциала много меньше глубины ямы, в которой есть связанное состояние.

Быстрые частицы . В этом случае формула Борна приводит к уменьшению амплитуды из-за осцилляций экспоненты . Поэтому амплитуду можно оценить как интеграл не по всей области действия потенциала, а по одному периоду осциллирующей функции , который по порядку величины есть . Поэтому из формулы Борна имеем в этом случае

(12)

где - характерное значение потенциала, и условие (12) дает ограничение на величину потенциальной энергии взаимодействия рассеивателя и рассеивающихся частиц

(13)

Из формулы (13) следует, что для достаточно быстрых частиц борновское приближение всегда работает.

В случае кулоновского потенциала нельзя говорить о характерной области его действия, поскольку этот потенциал медленно спадающий. Однако ясно, что условие применимости борновского приближения можно «сконструировать» из (13), заменив в нем

и (14)

где характерный параметр длины для кулоновского потенциала, то есть это боровский радиус . В результате из формулы (14) получим условие применимости борновского приближения для кулоновского поля в случае быстрых частиц

(15)

где - скорость рассеивающихся частиц. Условие применимости борновского приближения в кулоновском поле (15) имеет наглядный смысл, а именно

(16)

где - скорость электрона на первой боровской орбите.

Отметим еще одно важное свойство борновского приближения. Как следует из формулы Борна (3) амплитуда рассеяния на угол нуль является действительной. Поэтому , и, следовательно, оптическая теорема в борновском приближении заведомо не выполняется. Эта особенность борновского приближения связана с тем, что в первом борновском приближении амплитуда рассеяния линейна по возмущению, сечение – квадратично по возмущению. Поэтому в левой части оптической теоремы

(17)

так же как и в правой не должно быть величин, линейных по возмущению. Отсюда с необходимостью следует, уже отмеченное нами утверждение, что . Это значит, что в первом борновском приближении оптическая теорема не нарушается, а просто имеет вид тождества .

При этом приближенное выполнение оптической теоремы (с учетом ненулевого полного сечения) обеспечивается вторым порядком борновского приближения для амплитуды рассеяния

(18)

Доказательство этого утверждения выходит за рамки настоящего курса, поэтому мы возьмем его без доказательства.

Рассмотрим в борновском приближении рассеяние на потенциале

(19)

Вычисляя в формуле (3) интеграл по углам (для этого удобно направить ось по вектору ), получим

(20)

Вычисляя интеграл (20) (который вычисляется элементарно, и потому не требует комментариев), получаем

(21)

При больших энергиях и не слишком малых углах рассеяния формула (21) сводится к резерфордовской. Это связано с тем, что большим углам рассеяния отвечают малые прицельные параметры, и, следовательно, частицы не замечают экранировки кулоновского потенциала множителем , который порядка единицы при малых расстояниях. При малых углах рассеяния сечение не расходится (как резерфордовское) из-за экранировки потенциала, которое обеспечивает, таким образом, сходимость полного сечения.

5