Лекции по квантовой механике_1 / Lekciya16

Лекция 16

Водородоподобный атом. Уровни энергии и волновые функции. Кратность вырождения. Сферический осциллятор. Решение уравнения Шредингера в декартовых и сферических координатах

Найдем уровни энергии и общие собственные функции операторов , и . для частицы массой и зарядом , движущейся в кулоновском поле притяжения

(1)

Собственные функции перечисленных операторов имеют вид , причем радиальные функции удовлетворяют уравнению

(2)

и граничному условию . Введем безразмерную координату , где - величина, имеющая размерность длины и называемая боровским радиусом атома (в дальнейшем для упрощения записи формул штрих у безразмерной координаты опущен). В новых переменных уравнение (1) имеет вид

(3)

где - безразмерное собственное значение (которое для состояний дискретного спектра является положительным). Перейдем в уравнении (3) к новой неизвестной функции : . Подставляя эту функцию в уравнение (3), получим уравнение для новой неизвестной функции :

(4)

Ищем решение уравнения (4) в виде степенного ряда

(5)

где - неизвестные коэффициенты. Подставляя выражение (5) в уравнение (4), получим

(6)

Меняя в первой и второй суммах индекс суммирования и собирая слагаемые с одинаковыми степенями , получим рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда (5)

(7)

Для больших номеров соотношение (7) сводится к

(8)

и, следовательно, для больших номеров ряд (5) имеет вид

(9)

Таким образом, решение уравнения (2) расходится при . Следовательно, чтобы существовали ограниченные решения уравнения (1), ряд (5), (8) должен точно оборваться на каком-то шаге. В этом случае все слагаемые ряда, начиная с некоторого, равны нулю, а функция является многочленом. Ряд (5), (8) точно обрывается, если

(10)

где - целое неотрицательное число, имеющее смысл радиального квантового числа (в этой задаче минимальное значение квантового числа выбрано равным нулю). Следовательно, собственные значения оператора Гамильтона (которые можно отметить двумя индексами и ) имеют вид

(11)

При этом функции являются многочленами степени (коэффициенты этих многочленов зависят от числа , которое входит в рекуррентное соотношение (7)). В математике эти многочлены (с определенной нормировкой) называются обобщенными полиномами Лагерра. Найдем несколько первых полиномов.

Сначала для уравнения с .

, . Ряд обрывается на первом слагаемом, если . В этом случае , где нулевой коэффициент ряда может быть выбран любым.

, . Ряд обрывается на втором слагаемом, если . В этом случае , и, следовательно, .

, . Ряд обрывается на третьем слагаемом, если . В этом случае , , и, следовательно, .

Уравнение с .

, . Ряд обрывается на первом слагаемом, если . В этом случае .

, . Ряд обрывается на втором слагаемом, если . В этом случае , и, следовательно, .

, . Ряд обрывается на третьем слагаемом, если . В этом случае , , и, следовательно, .

Аналогично можно найти решения, отвечающие любым квантовым числам и .

Как следует из формулы (11), уровни энергии частицы в кулоновском поле можно перечислить с помощью одного целого положительного числа : , при этом, как следует из этого утверждения, имеет место вырождение состояний по моменту. Состояния с разными и вырождены, если сумма квантовых чисел и для этих состояний одинакова. Кратность вырождения находится из следующих очевидных рассуждений. Поскольку , для уровня с данным момент импульса может принимать значений от до . При этом для каждого значения существуют состояний, отличающихся проекций момента импульса на ось . Поэтому данному уровню отвечают

(12)

различных вырожденных собственных состояний.

Построим волновые функции нескольких первых собственных состояний.

(основное состояние). . Значению отвечает единственная пара квантовых чисел и , поэтому основное состояние не вырождено. Волновая функция основного состояния не зависит от углов и имеет вид (напомним, что во всех нижеследующих формулах (13)-(18) - безразмерный радиус-вектор).

(13)

(первый возбужденный уровень). . Значению отвечает две пары квантовых чисел , и , . Поэтому первый возбужденный уровень вырожден. Волновые функции состояний, отвечающих первому возбужденному уровню имеют вид

(14)

(15)

(второй возбужденный уровень). . Значению отвечает три пары квантовых чисел и , и , и . Волновые функции состояний, отвечающих второму возбужденному уровню имеют вид

(16)

(17)

(18)

Обратим внимание на то, что все волновые функции каждого уровня содержат одинаковую экспоненту: - для первого, - для второго, - для третьего и т.д. Это значит, что можно говорить об определенной локализации уровней энергии в кулоновском поле в пространстве: - для первого уровня (напомним, что здесь – безразмерная координата, в размерных единицах - , где - боровский радиус), - для второго уровня, - для третьего уровня и т.д.

Рассмотрим теперь частицу, движущуюся в потенциале

(19)

которую принято называть сферическим (или трехмерным изотропным) осциллятором. Уравнение Шредингера

(20)

для такой частицы допускает разделение переменных. Ищем решение уравнения (20) в виде . Подставляя эту функцию в уравнение, получим

(21)

Так как первое слагаемое уравнения (21) зависит только от , второе - только от , а третье - только от , то равенство (2) может удовлетворяться только в том случае, когда первое, второе и третье слагаемые формулы (2) равны некоторым постоянным , , . Поэтому функции , и удовлетворяют независимым уравнениям

(22)

(23)

(24)

Собственное значение равно сумме собственных значений .

Уравнения (22), (23) и (24) совпадают с уравнением Шредингера для одномерного осциллятора. Решения этого уравнения найдены в лекции, посвященной одномерному осциллятору:

(25)

откуда находим, что энергии и волновые функции стационарных состояний сферического осциллятора определяются тремя квантовыми числами :

(26)

(27)

причем квантовые числа независимо друг от друга могут принимать значения 0,1,2,3,...

(эти квантовые числа, которые возникают при решении уравнения Шредингера в декартовых координатах, часто называют «декартовыми»). Из (27) следует, что все уровни энергии сферического осциллятора можно описать формулой , где - целое неотрицательное число, причем основному состоянию отвечает .

Очевидно, собственные значения совпадают для таких наборов квантовых чисел , сумма которых одинакова. В этом случае различным собственным состояниям отвечает одинаковая энергия, то есть эти состояния вырождены. Поэтому кратность вырождения -го уровня энергии осциллятора равна количеству способов, которыми можно представить число как сумму трех неотрицательных целых чисел. Вычислим кратность вырождения. При фиксированном квантовом числе числа и могут принимать столько разных вариантов значений, сколькими способами можно целое неотрицательное число представить как сумму неотрицательных целых чисел и , то есть способов. А поскольку квантовое число может принимать любые значения от до , то кратность вырождения -го уровня сферического осциллятора равна

(28)

Таким образом, основное состояние сферического осциллятора () не вырождено (), ему отвечает единственная собственная функция

(29)

Первое возбужденное состояние имеет кратность вырождения , ему отвечают три различных собственных функции

(30)

Кратность вырождения второго возбужденного состояния равна , третьего - и т.д.

Формула (26) дает собственные функции осциллятора в декартовых координатах. С другой стороны, все состояния такого осциллятора можно классифицировать по квантовым числам , и , поскольку поле – центрально. При этом волновые функции не обязаны совпадать с из-за вырождения уровней энергии сферического осциллятора.

Для нахождения этих функций необходимо решить уравнение Шредингера в сферических координатах. Однако для уровней с маленькими квантовыми числами состояния можно классифицировать по квантовым числам , и , исходя только из кратностей вырождения уровней.

Основное состояние. Поскольку в любом сферически-симметричном потенциале все состояния за исключением состояний с вырождены по проекции момента, а кратность вырождения основного состояния равна единице, то основному состоянию отвечают квантовые числа , . А поскольку это состояние с самой маленькой энергией, то (в задаче о сферическом осцилляторе нумерацию радиальных квантовых чисел удобно начинать от нуля).

Первый возбужденный уровень энергии. Кратность вырождения первого возбужденного уровня осциллятора равна . Поэтому первому возбужденному уровню осциллятора отвечают квантовые числа , . При этом три собственные функции можно выбрать так, чтобы в каждом из собственных состояний имела определенное значение проекция момента на ось : .

Второй возбужденный уровень энергии. Кратность вырождения второго возбужденного уровня равна . Отвечающие ему состояния не могут иметь никакие моменты, кроме . Учитывая, что кратность вырождения состояний с определенным моментом по проекции момента равна , получаем квантовые числа состояний, отвечающих второму энергетическому уровню: , , и , , . Как видно из этих рассуждений имеет место вырождение по моменту: энергии собственных состояний с () и с () одинаковы.

7