§4. Понятие об арифметических операциях над действительными числами.

Пусть имеем два действительных числа и . Рассмотрим множество всевозможных сумм рациональных чисел , где – рациональное число из , – рациональное число из , а также множество всевозможных сумм рациональных чисел , где – рациональное число из , – рациональное число из . Легко видеть, что множество ограничено сверху любой суммой . Следовательно, множество имеет точную верхнюю грань , которую и назовем суммой действительных чисел и . Можно убедиться, что при таком определении сохраняются все свойства операции сложения, имеющие место для рациональных чисел.

Определим теперь произведение двух действительных чисел и . Положим сначала, что и . Рассмотрим множество всевозможных произведений рациональных чисел , где – рациональное число из , – рациональное число из , и множество Q₂ всевозможных произведений рациональных чисел , где - рациональное число из , - рациональное число из . Множество ограничено сверху любым произведением . Следовательно, имеет точную верхнюю грань , которую и назовем произведением действительных чисел и , обозначая его символом . Если оба числа и отрицательны, то произведением чисел и назовем такое же число , которое получилось бы в результате умножения двух положительных чисел и . Если , а , то их произведением называют число . Аналогично произведением чисел и в случае назовем число .

Разность действительных чисел и определим как сумму действительных чисел и , где – есть произведение на .

И, наконец, для определения операции деления введем понятие обратного числа для действительного числа . Ограничимся случаем иррационального положительного . Предположим, что определяется сечением во множестве . Обратным для назовем число, обозначаемое , которое определяется сечением ( ), где к отнесем все отрицательные рациональные числа, нуль и все числа вида , где - любое число из . К верхнему классу отнесем все числа вида , где – любое положительное число из . Отношением числа к числу назовем произведение .

§5. Модуль действительного числа и его свойства.

Модулем, или абсолютной величиной действительного числа (обозначение ) назовем само число , если оно неотрицательно и число , если отрицательно. Таким образом,

.

Рассмотрим свойства модуля.

1.  .

Это непосредственно следует из определения модуля.

2.  .

Действительно, из определения модуля следует, что для неотрицательного это неравенство имеет вид , что очевидно; для отрицательного имеем , что также очевидно.

3. Неравенства и равносильны.

Пусть имеет место неравенство . Из определения модуля следует, что это неравенство равносильно системе: , которая равносильна системе . Если эту систему записать двойным неравенством, то получим то, что требовалось: . Теперь установим обратное, что выполнение неравенства влечет выполнение неравенства . В самом деле, запишем данное неравенство в виде системы:

или

Но это и означает, что

.

4. 

По свойству 2 рассмотрим два очевидных неравенства и . Сложив их, будем иметь . Теперь, воспользовавшись свойством 3, получим требуемое неравенство.

5.  .

Представим в виде и воспользуемся свойством 4.

. Если теперь перенести из правой части в левую, то получим требуемое неравенство.