§2. Действительные числа. Полнота множества действительных чисел.

Определение 2.2. Действительным числом назовем любой из трех видов сечений Дедекинда во множестве рациональных чисел.

Множество действительных чисел обозначают через .

Пусть – сечение Дедекинда первого вида во множестве и – наибольшее рациональное число в . Рациональное число является пограничным числом между множествами и и им можно характеризовать сечение . Этот факт будем обозначать символом .

Аналогично, сечение второго вида можно также характеризовать рациональным числом , являющимся наименьшим в и пограничным между и , и записывать .

Если же мы имеем дело с сечением Дедекинда третьего вида во множестве , то будем считать, что классы и также разделяются некоторым пограничным числом , но это число не является рациональным.

Определение 2.3. Действительные числа, определяемые сечениями Дедекинда первого или второго видов во множестве , будем называть рациональными, а определяемые сечениями Дедекинда третьего вида, – иррациональными.

Нетрудно видеть, что принципиальной разницы между сечениями Дедекинда первого и второго видов нет. Любое рациональное число можно рассматривать как сечение Дедекинда первого вида, считая наибольшим в , но можно рассматривать и как сечение Дедекинда второго вида, считая наименьшим в . Такая двойственность неудобна. Поэтому в дальнейшем, говоря о рациональном числе , условимся пограничное число всегда относить к верхнему классу .

Определение 2.4. Два действительных числа и назовем равными (обозначение: ) тогда и только тогда, когда и .

Определение 2.5. Действительное число будем называть большим действительного числа и обозначать , если множество является собственным подмножеством множества . Число при этом называют меньшим числа и обозначают .

В частности, если – рациональное число, то действительное число будет больше , если принадлежит и меньше или равно , если принадлежит .

Например, действительное число назовет положительным, когда 0 принадлежит _.

Если для трех действительных чисел и выполняется неравенство , то скажем, что число лежит между числами и

ТЕОРЕМА 2.1. Между двумя неравными действительными числами всегда существует рациональное число.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и два неравных действительных числа. Положим для определенности, что . По определению 2.5 это означает, что множество рациональных чисел является собственным подмножеством множества рациональных чисел . Отсюда следует, что в имеется рациональное число , не содержащееся в . Следовательно .

Рассматривая сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел, мы столкнулись с любопытным фактом: не всегда сечение производится рациональным числом. Именно это обстоятельство и послужило основанием для введения иррациональных чисел. Рассмотрим теперь сечения Дедекинда во множестве действительных чисел .

Сечением Дедекинда во множестве назовем разбиение множества на два непустых подмножества и таких, что:

1. каждое действительное число, принадлежащее меньше каждого действительного числа, принадлежащего ;

2. любое действительное число принадлежит либо , либо .

Сечение Дедекинда во множестве будем обозначать символом , где – нижний класс, а – верхний класс. Поскольку во множестве , являющимся подмножеством , возможны лишь три вида сечений, то во множестве других (новых) видов сечений быть не может. Поэтому логически могут представиться следующие случаи.

1. в есть наибольшее число, в нет наименьшего числа;

2. в нет наибольшего числа, в есть наименьшее число;

3. в нет наибольшего числа, в нет наименьшего числа.

Сечения Дедекинда двух первых видов могут быть построены точно так же, как это было сделано во множестве . Покажем, что третьего вида сечений Дедекинда во множестве не существует. Обозначим множество всех рациональных чисел в через , а множество всех рациональных чисел в через . В результате получим сечение во множестве рациональных чисел . Исследуем это сечение. Могут представиться три случая, когда сечение является сечением первого, второго или третьего видов.

1. Предположим, что – сечение первого вида. Обозначим через наибольшее рациональное число в . Покажем, что в этом случае сечение во множестве есть также сечение первого вида. Предположим противное, что в нет наибольшего действительного числа. Значит найдется такое действительное число из , что . По теореме 2.1 между и найдется рациональное число , так что . Но это невозможно, так как лежит в , а, следовательно, принадлежит , и является наибольшим в . Полученное противоречие вынуждает нас отказаться от предположения, что не является сечением первого вида во множестве .

2. Предположив, что – сечение второго вида во множестве , рассуждениями, аналогичными в 1) установим, что также является сечением второго вида во множестве .

3. Пусть – сечение третьего вида во множестве . По определению 2.3 это есть некоторое иррациональное число , которое принадлежит либо , либо . Допустим, что принадлежит . Тогда утверждаем, что  будет наибольшим в . Предположим противное, что в найдется действительное число такое, что . По теореме 2.1 между и  найдется рациональное число , такое что . Из этого неравенства вытекают два противоречивых утверждения. С одной стороны, , а, следовательно, принадлежит . С другой стороны, больше пограничного числа а значит принадлежит _. Полученное противоречие доказывает, что, если принадлежит , то является наибольшим в , а, следовательно, сечение – есть сечение первого вида. Совершенно аналогично можно показать, что, если принадлежит , то  является наименьшим в , а, значит, – сечение Дедекинда второго вида во множестве .

Итак, подводя итог, приходим к заключению, что во множестве действительных чисел всякое сечение производится действительным числом. Это свойство множества называют полнотой, или непрерывностью. Именно из-за этого свойства множество рациональных чисел расширили до множества .