Глава 2 действительные числа Введение

Понятие числа прошло длинный путь исторического развития. Простейшим числовым множеством, возникшим в результате счета предметов, является множество натуральных чисел

.

В этом множестве всегда выполнимы две алгебраические операции: сложение и умножение. Это значит, что сумма и произведение двух натуральных чисел всегда являются натуральными числами. На заре человечества этих операций было достаточно, но с развитием общества возникает потребность выполнять операцию вычитания, которая во множестве не всегда выполнима. Поэтому родилась идея о расширении множества натуральных чисел путем присоединения к нему всех отрицательных целых чисел и нуля. В результате получилось множество всех целых чисел

.

Во множестве всегда выполнимы три алгебраические операции: сложение, умножение и вычитание, но не всегда выполнима операция деления. Дальнейшее расширение множества путем присоединения к нему всех обыкновенных дробей привело к образованию множества рациональных чисел Q, в котором выполнимы четыре алгебраические операции: сложение, умножение, вычитание и деление на число, отличное от нуля. Для целей арифметики множество рациональных чисел является вполне достаточным. Однако множество Q оказалось недостаточным для целей математического анализа из-за того, что не обладает свойством полноты. Это можно проиллюстрировать следующим образом. Если мы попытаемся изображать рациональные числа точками на числовой прямой, то обнаружим, что не можем целиком заполнить всю прямую. Рациональных чисел не хватает для сплошного покрытия этой прямой. На числовой прямой есть «дыры», которые «изображают» нерациональные числа. Для доказательства существования нерациональных чисел (их называют иррациональными) достаточно указать хотя бы одно такое число. Покажем, что число , квадрат которого равен 2, не является рациональным. Действительно, предположим противное, что число – рациональное и . В силу рациональности его можно представить в виде обыкновенной несократимой дроби , где – некоторое целое число, а – натуральное число. Тогда из условия получаем, что

(*)

Левая часть равенства (*) – число четное. Значит и правая часть должна быть четной. Но это возможно только тогда, когда – четно, т.е. , где – целое число. Отсюда получаем, что , а, следовательно, равенство (*) принимает вид , или после сокращения на 2, будем иметь . Из последнего равенства вытекает, что его правая часть – число четное, а поэтому четным должно быть и число , что возможно только тогда, когда – четно. Итак, приходим к выводу, что числа и четные, а значит дробь сократима, что противоречит предположению. Таким образом, предположение о том, что число , для которого , является рациональным, приводит к противоречию, а, следовательно, неверно. Этим самым мы установили существование иррациональных чисел.

Больше того, оказывается, что точек на числовой прямой, изображающих рациональные числа, ничтожно малое количество по сравнению со всеми точками прямой. Подавляющее же большинство точек изображают иррациональные числа. Можно сказать, что числовая прямая почти состоит из точек, изображающих иррациональные числа. Поэтому возникает задача о расширении множества рациональных чисел до такого множества чисел, любое их которых можно было бы изобразить точкой на числовой прямой. Таким расширением множества Q является множество действительных чисел R. Однако корректно ответить на вопрос, что такое действительное число, не так просто, как может показаться. Ответом является построение специальной теории. Существует несколько теорий действительного числа: теория Дедекинда, теория Кантора, теория Вейерштрасса и другие.

Мы рассмотрим теорию Дедекинда. Рихард Юлиус Вильгельм Дедекинд (1831-1916) – немецкий математик, который учился в Геттингенском университете у таких корифеев математики, как Гаусс и Дирихле. Он известен как один из создателей алгебры произвольных полей, колец, групп и структур.