2 Теорема Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и , то для любого числа между и найдется точка из такая, что .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть
для определенности
.
Рассмотрим функцию
.
Она непрерывна на
по теореме 3.26 и
;
.
Следовательно, по 1 теореме Больцано-Коши
на
найдется точка
такая, что
,
т.е.
.
Следствие Если функция непрерывна на , то множество значений этой функции является отрезком.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть
.
Тогда множество значений функции
лежит на отрезке
.
Покажем, что каждое число из
является значением функции
.
Возьмем произвольно число
из
.
Найдем такие значения
и
,
чтобы
.
Заметим, что это всегда возможно, так
как в противном случае числа
и
не являлись бы точными гранями для
.
Следовательно, по 2-ой теореме Больцано-Коши
на отрезке
найдется точка
такая, что
.
Так как
– произвольное число из
,
то утверждаем, что любое число из
является значением функции
.
Следствие доказано.
§21. Равномерная непрерывность функций.
Рассмотрим
функцию
,
непрерывную в некоторой точке
промежутка
.
Это значит, что
.
Заметим, что, вообще говоря, выбираемое зависит не только от , но и от точки . Однако существуют такие функции, для которых выбор не зависит от точки . Такие функции называют равномерно непрерывными на промежутке .
Определение
3.26. Функцию
называют равномерно непрерывной на
промежутке
,
если
.
Суть этого определения состоит в том, что модуль разности между любыми двумя значениями равномерно непрерывной функции на промежутке можно сделать как угодно малым, если взять значения аргументов достаточно близко друг от друга.
Если
же
,
то функция
не является равномерно непрерывной на
.
Легко
видеть, что если функция
равномерно непрерывна на промежутке
,
то она будет непрерывной на
.
Действительно, выбирая произвольно
и полагая в определении 3.26
,
,
получим определение 3.22. Обратное неверно:
непрерывная на промежутке функция может
не быть равномерно непрерывной на этом
промежутке. Покажем, например, что
функция
,
непрерывная на
,
не будет равномерно непрерывной на
.
Возьмем
и две бесконечно малые последовательности
и
.
Ясно, что их разность
будет бесконечно малой последовательностью.
Поэтому
.
Заметим, что
и
.
Следовательно
.
Таким образом, для
при произвольно выбранном
найдутся два значения
и
из
такие, что
,
но
.
Достаточно лишь взять
.
Это и значит, что функция
не является равномерно непрерывной на
.
ТЕОРЕМА
Кантора. Если функция
непрерывна на
,
то она будет равномерно непрерывна на
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что непрерывная на отрезке функция не будет равномерно непрерывной на , т.е.
.
Выберем
произвольную бесконечно малую
последовательность положительных чисел
.
Тогда по предположению для
найдутся значения
и
такие, что
;
для
найдутся значения
и
такие, что
.
Продолжая
далее этот процесс на
шагу получим для
найдутся значения
и
такие, что
.
И
так далее. В результате получим две
последовательности
и
,
все члены которых лежат на
.
По лемме Больцано-Вейерштрасса выделим
из последовательности
подпоследовательность
,
сходящуюся к
.
Рассмотрим теперь подпоследовательность
последовательности
.
Покажем сначала, что
.
Поскольку
последовательность
является бесконечно малой, то ее
подпоследовательность
также будет бесконечно малой. Зададим
произвольно
.
Для него
.
Учитывая, что
,
получаем, что для
.
С другой стороны, для
.
Пусть
.
Тогда
.
Это
и значит, что
.
Таким образом, из последовательностей
и
мы выделили две подпоследовательности
и
,
сходящиеся к
.
Следовательно, по непрерывности функции
последовательности
и
должны сходиться к одному и тому же
числу
,
или последовательность
должна быть бесконечно малой. Однако в
силу выбора последовательностей
и
мы имеем условие
.
Полученное противоречие вынуждает нас
отказаться от неверного предположения
о неравномерной непрерывности функции
на
.
Теорема доказана.
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 2
Глава 1 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. 3
§1. Высказывания. Логические операции над высказываниями. 3
§2. Правила вывода. 6
§3. Предикаты. Кванторы. 7
Глава 2 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 10
Введение 10
§1. Сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел. 11
§2. Действительные числа. Полнота множества действительных чисел. 13
§3. Числовые множества и их границы. 15
§4. Понятие об арифметических операциях над действительными числами. 17
§5. Модуль действительного числа и его свойства. 18
Глава 3 ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ. 20
§1. Понятие функции одной переменной. Обратная функция. Сложная функция. 20
§2. Элементарные функции. Свойства функций. 22
§3. Числовые последовательности. 24
§4. Понятие предела числовой последовательности. 27
§5. Основные теоремы о пределе последовательности. 29
§6. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. 32
§7. Арифметические операции над пределами последовательностей. 34
§8. Неопределенности. Сравнение бесконечно малых последовательностей. 35
§9. Лемма о вложенных отрезках. 36
§10. Подпоследовательности. Частичные пределы. 37
§11. Число e. 39
§12. Предел функции. 40
§13. Основные теоремы о пределе функции. 43
§14. Односторонние пределы функции. 45
§15. Понятие непрерывности функции в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями. 46
§16. Первый замечательный предел. 48
§17. Непрерывность элементарных функций. 49
§18. Некоторые пределы, связанные с показательной и логарифмической функциями. 52
§19. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва. 54
§20. Свойства функций, непрерывных на отрезке. 56
§21. Равномерная непрерывность функций. 58