§20. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Основные свойства функций, непрерывных на отрезке, выражаются двумя теоремами Вейерштрасса и двумя теоремами Больцано-Коши.
1 Теорема Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем
ограниченность сверху функции
.
Предположим противное, что
неограничена сверху. Значит
.
Для
найдем
такой, что
;
для
найдем
такой, что
и так далее, для
найдется
такой, что
и так далее. В результате получим
последовательность
,
обладающую свойством :
.
Поскольку последовательность
расположена на отрезке
,
то она ограничена. По лемме
Больцано-Вейерштрасса из нее можно
выделить сходящуюся подпоследовательность
.
Пусть
.
Тогда по непрерывности функции
должны иметь
.
Однако в силу выбора последовательности
мы получаем, что
.
Полученное противоречие позволяет
сделать вывод об ограниченности сверху
функции
.
Аналогично показывается ограниченность
снизу.
Замечание. Непрерывность
функции на отрезке является существенным
условием теоремы. Если же отрезок
заменить интервалом, то утверждение
теоремы становится неверным. Например,
функция
непрерывна на
,
но неограничена.
2 Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то среди всех ее значений есть наибольшее и наименьшее.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По
1 теореме Вейерштрасса непрерывная на
функция
ограничена. Следовательно, множество
значений этой функции имеет точные
верхнюю и нижнюю грани. Пусть
.
Покажем, что на
найдется такая точка
,
что
.
Предположим противное, что
.
Рассмотрим функцию
.
Она непрерывна на
по теореме 3.26 и положительна. Следовательно,
по 1 теореме Вейерштрасса она ограничена.
Поэтому
.
Но
равносильно неравенству
,
или
,
или
.
Таким образом,
.
Это противоречит тому, что
.
Значит, наше предположение неверно и
.
Аналогично можно показать существование
такого, что
.
1 Теорема Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и на концах его принимает значения разных знаков, то внутри найдется точка такая, что .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть
для определенности
.
Разделим отрезок
пополам точкой
.
Может так случиться, что
.
Т
огда
теорема доказана. Если же
,
то на концах одного из отрезков
и
функция
будет принимать значения разных знаков,
причем на левом конце значение функции
будет отрицательным, а на правом –
положительным. Обозначим такой отрезок
.
Разделим его пополам точкой
.
Если
,
то теорема доказана; если же
,
то обозначим через
тот из отрезков
и
,
на концах которого функция
принимает значения разных знаков:
.
Продолжая далее этот процесс, либо на
-ом
шагу получим
,
и теорема доказана, либо получим
последовательность вложенных отрезков
,
в которой
.
По лемме о вложенных
отрезках заключаем о сходимости
последовательностей
и
к одному и тому же пределу. Обозначим
его через
.
Покажем, что
.
Действительно, отрезки
выбирались так, что
.
Переходя в этих неравенствах к пределу
при
,
получаем
.
Непрерывность функции
приводит нас к заключению, что
.
Отсюда следует, что .
Теорема доказана.
Эта теорема имеет
простой геометрический смысл: если
непрерывная кривая переходит с одной
стороны оси
на другую, то она пересекает ось
.