§18. Некоторые пределы, связанные с показательной и логарифмической функциями.

ТЕОРЕМА 3.29. (второй замечательный предел).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала случай, когда . Поскольку нас интересует поведение функции вблизи точки , то можно ограничиться рассмотрением только положительных . Выберем произвольно действительное число . Обозначим целую часть через , т.е. . Напомним, что целой частью числа называется наибольшее целое число, не превосходящее . Исходя из очевидного неравенства , получаем цепочку равносильных утверждений:

.

Перейдем в последнем неравенстве к пределу при . Замечая, что , получаем

, или

Вычисляя пределы в правой и левой частях последнего неравенства, получаем, что они равны . Следовательно, по теореме о сжатой функции .

Теперь рассмотрим случай, когда . Введем замену : . Тогда условие будет равносильно условию . Значит

.

Замечание. Иногда второй замечательный предел записывают в другом виде Пусть . Тогда если , то , и мы получаем .

ТЕОРЕМА 3.30. .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.  .

Замечание. В частности, если , то имеем .

ТЕОРЕМА 3.31. .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть . Тогда . Если , то . Поэтому .

Замечание. В частности, если , то имеем .

ТЕОРЕМА 3.32. .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть . Тогда

или .

Если , то . Поэтому получаем

.

Замечание. В этом параграфе установлена эквивалентность следующих бесконечно малых функций при :

 ;  ;  .

§19. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва.

Если предел, входящий в определение непрерывности функции в точке (определение 3.21) будет односторонним, то функция называется односторонне непрерывной в этой точке. Например, если функция непрерывна отрезке , то ясно, что в точке можно говорить лишь о непрерывности этой функции справа, а в точке – о непрерывности слева.

ТЕОРЕМА 3.33. Для непрерывности функции в точке , необходимо и достаточно, чтобы была непрерывна слева и справа от .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы вытекает из теоремы 3.25 и определения односторонней непрерывности функции.

Если функция не является непрерывной в точке , то ее называют разрывной в этой точке, а точку – точкой разрыва. Функция может иметь разрыв в точке в следующих случаях:

1. не существует ;

2. существует, но .

3. функция неопределена в точке , но определена в некоторой проколотой окрестности этой точки.

Определение 3.25. Пусть – точка разрыва функции . Ее называют точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции в точке . В противном случае (т.е. когда хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен) точка называется точкой разрыва второго рода. В свою очередь разрыв первого рода может быть устранимым, если и неустранимым, если . В случае неустранимого разрыва разность называется скачком.

Рассмотрим примеры.

1. . Исследовать точки разрыва.

Решение.

Точкой разрыва может быть только точка , так как в этой точке функция неопределена, но определена в любой проколотой окрестности этой точки. В остальных точках функция будет непрерывной по теореме 3.26. Односторонние пределы данной функции в точке мы уже находили в теореме 3.27:

Поэтому делаем вывод, что является точкой разрыва первого рода, причем разрыв устранимый.

2. Исследовать на разрыв точку .

Решение.

Найдем односторонние пределы функции в точке . ; . Значит, есть точка разрыва первого рода, причем разрыв неустранимый; скачок равен .

3. . Исследовать точки разрыва.

Решение.

Точкой разрыва может быть лишь точка , так как в ней функция неопределена, но определена в любой проколотой окрестности этой точки. В остальных точках данная функция будет непрерывной по теореме 3.26. Поскольку , то является точкой разрыва второго рода для данной функции.