§17. Непрерывность элементарных функций.

Покажем сначала, что основные элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения.

1. Непрерывность функции была установлена в § 16.

2. Доказательство непрерывности функции в произвольной точке из области определения проведем в два этапа. Сначала покажем непрерывность этой функции в точке , т.е. что . Рассмотрим два случая, когда и когда .

Пусть . Зададим произвольно и найдем такое, что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполняться условие . Рассмотрим неравенство . Оно равносильно неравенству , которое равносильно неравенству . Выберем наименьшее из чисел и . Так как

,

то > . Поэтому, взяв в качестве любое положительное число, меньшее чем , при всех , удовлетворяющих условию , будет обеспечено выполнение неравенства .

Пусть теперь . Тогда рассмотрим число . Для числа было установлено, что . Значит . Отсюда получаем .

Теперь покажем, что показательная функция непрерывна в любой точке из области определения.

,

что и требовалось доказать.

3. Установим теперь непрерывность функции в точке из области определения, т.е. покажем, что .

Зададим произвольно и найдем такое, что

.

Неравенство равносильно неравенству , которое равносильно совокупности

.

Для каждого случая находим как положительное число, меньшее чем .

4. Покажем непрерывность в произвольной точке . Зададим произвольно и найдем такое, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется условие .

.

Поскольку , а , то

.

Отсюда приходим к выводу, что, в качестве можно взять любое положительное число, меньшее . Совершенно аналогично можно установить непрерывность функции в любой точке , т.е. справедливость равенства .

После этого на основании теоремы 3.26 можно утверждать, что в любой точке области определения будут непрерывны функции и .

5. У становим теперь непрерывность функции в произвольной точке из области определения. Известно, что функция на отрезке монотонно возрастает от -1 до +1. Поэтому функция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между отрезками и . Этот факт позволяет определить на [-1,1] функцию , обратную к функции. . Функция , как и функция , будет монотонно возрастающей. Возьмем произвольную точку из . Ей будет соответствовать точка из . Зададим произвольно так, чтобы точки и лежали на отрезке . Покажем, как можно найти такое, чтобы при всех , удовлетворяющих неравенству , выполнялось условие .

Для числа найдется такое из [-1,1] ,что . Аналогично для числа найдется число из [-1,1] такое, что . При этом в силу монотонного возрастания функции из того, что будем иметь: (см. рисунок). Отсюда видно, что в качестве можно взять любое положительное число меньшее, чем .

Замечание. Если же будет таким, что выйдет за пределы отрезка [-1,1], то в качестве можно взять число 1 (число -1).

Если учесть, что , то функция непрерывна в любой точке из области определения по теореме 3.26.

Непрерывность функций и в любой точке области определения устанавливается аналогично непрерывности .

6. Для установления непрерывности степенной функции докажем предварительно теорему о непрерывности сложной функции.

ТЕОРЕМА 3.28. Пусть имеем сложную функцию . Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зададим произвольно и найдем для него в силу непрерывности функции в точке такое , что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется условие . Далее, для найденного силу непрерывности функции в точке найдется , такое, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется условие . Таким образом, для произвольно заданного находится такое, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется условие , которое влечет за собой выполнение условия , что и означает непрерывность функции в точке .

7. Теперь покажем, что функция непрерывна в произвольной точке . Запишем данную функцию в виде . Функция непрерывна в любой точке из области определения. Функция непрерывна в любой точке из области определения. Следовательно, по теореме 3.28 будет непрерывной в точке и сложная функция .

Опираясь на теоремы 3.26 и 3.28 можно утверждать, что любая элементарная функция будет непрерывной в своей области определения.