§15. Понятие непрерывности функции в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями.

Рассматривая понятие предела функции в точке , специальный акцент был сделан на том, что точка исключается из рассмотрения (выполнение неравенства требовалось лишь в проколотой -окрестности точки ). В точке функция может быть даже не определена. Все равно предел функции в этой точке имеет смысл. Однако если функция определена в точке и ее значение совпадает с пределом в точке , то говорят, что функция обладает особым свойством – непрерывностью.

Определение 3.21. Функция называется непрерывной в точке , если .

Сформулируем это определение на языке « ». Получим.

Определение 3.22. Функция называется непрерывной в точке , если .

Если же в определении 3.21 раскрыть определение предела на языке последовательностей, то получим

Определение 3.23. Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности , сходящейся к , соответственная последовательность значений функции сходится к .

Иногда удобно формулировать определение непрерывности функции на языке приращений. Разность называют приращением аргумента в точке ; а разность называют приращением функции в точке . Поскольку , то , а тот факт, что равносилен утверждению, что , то получаем следующее определение.

Определение 3.24. Функция называется непрерывной в точке , если приращение функции в точке стремится к нулю при стремлении к нулю приращения аргумента, т.е. .

Рассмотрим примеры.

1. Дана функция , где – константа. Доказать, что она непрерывна в любой точке области определения.

Решение.

Пусть – произвольная точка области определения. Дадим приращение . Тогда функция получит приращение . Поэтому , что и означает непрерывность функции в произвольной точке .

2. Дана функция . Докажем, что она непрерывна в любой точке области определения.

Пусть – произвольная точка области определения. Дадим приращение . Тогда функция получит приращение . Следовательно, .

ТЕОРЕМА 3.26. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке будут непрерывны функции , а при условии будет непрерывна функция .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из теорем 3.23 и 3.24.

Из рассмотренных примеров и теоремы 3.26 вытекают важные следствия.

Следствие 1 Функция ( – натуральное) непрерывна при любом значении .

Следствие 2 Функция непрерывна при любом .

Следствие 3 Функция непрерывна при любом , не обращающем знаменатель в нуль.

Если функция непрерывна в каждой точке множества , то ее называют непрерывной на .

§16. Первый замечательный предел.

Предел называют первым замечательным пределом. Он представляет собой неопределенность типа . Покажем, как можно раскрыть эту неопределенность.

ТЕОРЕМА 3.27. .

Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем окружность радиуса и рассмотрим острый центральный угол АОВ, радианная мера которого равна .

Проведем касательную к окружности в точке до пересечения в точке с прямой ОВ.

Сравним площади треугольников АОВ, АОС и сектора АОВ. Легко видеть, что треугольник АОВ является частью сектора АОВ, который в свою очередь является частью треугольника АОС. Поэтому имеем цепочку неравенств

.

Выразив площади фигур через и , получим

, или . (1)

Учитывая, что , поделим все части последнего неравенства на . Получим , или, переходя к обратным величинам, будем иметь

(2)

Умножив все части неравенства (2) на (-1) и прибавив ко всем частям 1, приходим к неравенству . Оценим правую часть этого неравенства: . Далее из неравенства (1) следует, что . Поэтому получаем . Итак имеем

(3)

Перейдем к пределу при . В силу ограничения получаем, что стремится к нулю справа, т.е. . Поскольку левая и правая части неравенства (3) стремятся к нулю, то по теореме о сжатой функции приходим к заключению

, или .

Пусть теперь . Заметим, что при таких останется справедливым неравенство (2) в силу четности функций и . Умножив все части неравенства (2) на (-1) и прибавив ко всем частям 1, приходим к неравенству . Оценивая правую часть этого неравенства, получаем . Следовательно, . Перейдем к пределу при . При этом . Так как левая и правая части последнего неравенства стремятся к нулю, то по теореме о сжатой функции получаем, что , или . Теперь на основании теоремы 3.25 можно утверждать, что .

Следствие Для всех действительных имеет место неравенство .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для утверждение доказано в теореме 3.27. Если же , то утверждение очевидно, так как , а .