§11. Число e.

Рассмотрим последовательность . Исследуем ее на сходимость. Используя формулу бинома Ньютона:

,

где , получим

= = .

Заметим, что при каждый из множителей меньше единицы, а . Следовательно,

= = .

Таким образом, каждый член рассматриваемой последовательности меньше числа 3, что означает ограниченность сверху этой последовательности. Докажем теперь, что последовательность монотонно возрастает. Для этого достаточно убедиться в справедливости неравенства .

.

Сравним каждое слагаемое, начиная со второго, в записях членов и . Видим, что . Поэтому делаем вывод, что каждое слагаемое, начиная со второго, суммы для члена больше соответственного слагаемого суммы для члена . Отсюда получаем, что . Значит последовательность монотонно возрастает.

Известно, что ограниченная сверху монотонно возрастающая последовательность сходится (см. теорему 3.3). Предел этой последовательности принято обозначать буквой .

Число – иррациональное; его можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби: = 2,718281828459045...

Показательную функцию с основанием , т.е. функцию , называют экспонентой. Она часто используется при описании различных явлений окружающей нас действительности.

Логарифм числа по основанию называют натуральным логарифмом и обозначают символом . Функция также находит в математике широкое применение.

§12. Предел функции.

Пусть дана функция действительного аргумента , определенная на . Распространим определение предела функции натурального аргумента на функцию действительного аргумента при .

Определение 3.14. Число называют пределом функции при (на плюс бесконечности), если для любого найдется число такое, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Обозначение:

В символах математической логики тот факт, что выглядит так

.

Это определение, как и определение предела последовательности, выделяет характерное свойство предела: отклонение от числа можно сделать как угодно малым при достаточно больших (при близких к ). Аналогично можно сформулировать определение предела функции при .

Определение 3.15. Число называют пределом функции при (на минус бесконечности), если . Обозначение: .

Дадим геометрическую иллюстрацию определений 3.14 и 3.15.

     

Если функция действительного аргумента определена на , то понятие предела можно определить не только при или , но и при , где – любая точка из .

Интервал , где , часто называют -окрестностью точки . Иногда исключают из рассмотрения точку . В этом случае окрестность называют проколотой.

Определение 3.16. Число называют пределом функции в точке , если .

Обозначение: .

Определение 3.16 называют определением предела функции в точке на языке , или определением предела по Коши в честь знаменитого французского математика, сформулировавшего его.

Обратим внимание на то, что в этом определении не требуется выполнение неравенства при . Поэтому говорят также, что неравенство должно выполняться в проколотой окрестности точки .

Существует другое определение предела функции в точке, сформулированное немецким математиком Гейне – определение на языке последовательностей.

Определение 3.17. Число называют пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к , , соответственная последовательность значений функции сходится к числу .

ТЕОРЕМА 3.13. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Требуется доказать два утверждения, что из определения 3.16 следует определение 3.17 и наоборот.

1. Пусть – есть предел функции в точке по Коши. Докажем, что есть предел функции по Гейне. Зададим произвольно . По определению 3.16 для него найдется такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к . По определению предела последовательности для найденного существует номер , начиная с которого будет выполняться неравенство . Но тогда по определению 3.16 , что и означает сходимость последовательности к числу , т.е. имеет место определение 3.17.

2. Пусть теперь есть предел функции в точке по Гейне. Докажем, что является пределом функции по Коши. Предположим противное, что не является пределом функции в точке по Коши:

=

= .

Зададим какую-нибудь последовательность положительных чисел , сходящуюся к нулю. Для найдется , удовлетворяющий условию , для которого выполняется неравенство . Для . И так далее. Для найдется , удовлетворяющий условию , для которого выполняется неравенство . И так далее. В результате выделится последовательность , такая, что при всех будем иметь . Переходя в этом неравенстве к пределу при , по теореме о сжатой последовательности получаем, что последовательность является бесконечно малой. Следовательно, по теореме 3.6 последовательность сходится к . Тогда по определению 3.17 последовательность должна сходиться к числу . Однако . Получили противоречие. Поэтому наше предположение о том, что число не является пределом функции по Коши в точке является неверным.

Теорема полностью доказана.

Иметь два определения предела функции в точке удобно тем, что при решении одного типа задач рациональнее пользоваться определением 3.16, а при решении другого типа задач – определением 3.17. Продемонстрируем это на примерах.

ПРИМЕРЫ

1. . Доказать, что .

Решение.

Зададим произвольно и найдем такое , что . Но последнее неравенство равносильно неравенству . Значит, в качестве можно взять любое положительное число меньшее .

2. ; Доказать, что .

Решение.

Зададим произвольно и найдем такое, чтобы .

Легко видеть, что для любого , удовлетворяющего неравенству , значения функции равны 1. Поэтому неравенство принимает вид , что всегда истинно. Следовательно, в качестве нас устроит любое положительное число.

3. Доказать, что предел функции при не существует.

Решение.

Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Возьмем последовательность , сходящуюся к нулю. Тогда соответственная последовательность значений функции имеет вид . Это постоянная последовательность, состоящая из нулей. Очевидно, что она сходится к нулю. Теперь возьмем другую последовательность , сходящуюся к нулю. Соответственная ей последовательность значений функции имеет вид . Это постоянная последовательность, состоящая из единиц. Очевидно, что она сходится к 1. Поэтому по определению 3.17 утверждаем, что данная функция предела не имеет.