§9. Лемма о вложенных отрезках.
Рассмотрим последовательность, членами которой являются отрезки:
;
;
;
...;
;
... (*)
Если для этой последовательности выполняются условия
, (**)
то такая последовательность называется последовательностью вложенных отрезков.
ЛЕММА. Если для
последовательности вложенных отрезков
(*) выполняется условие
,
то последовательности
и
сходятся к общему пределу.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В
силу условия (**) последовательность
является неубывающей и ограниченной
(
),
а значит сходящейся. Пусть
.
Аналогично, последовательность
является невозрастающей и ограниченной,
а, следовательно, сходящейся. Обозначим
.
Далее по теореме 3.10 имеем
,
а по условию леммы этот предел равен
нулю. Отсюда и вытекает, что
,
что и требовалось доказать.
§10. Подпоследовательности. Частичные пределы.
Пусть имеем
последовательность
,
т.е. соответствие
Выберем во множестве
,
не меняя порядка следования членов,
некоторое бесконечное подмножество
и рассмотрим соответствие
Это соответствие
называют подпоследовательностью для
данной последовательности
и обозначают символом
.
Например, для последовательности
подпоследовательностями являются
и
.
Для наглядности выпишем несколько
первых членов каждой из этих
последовательностей.
:
:
:
Легко заметить, что последовательность образована из членов последовательности , стоящих на четных местах, а последовательность образована из членов последовательности , стоящих на нечетных местах.
ТЕОРЕМА 3.12. Если
последовательность
сходится к числу
,
то и любая ее подпоследовательность
также сходится и притом к тому же числу
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сходимость последовательности к числу равносильна условию:
.
Рассмотрим
произвольную подпоследовательность
данной последовательности
.
По определению подпоследовательность
состоит из членов последовательности
.
Поэтому
,
что и означает сходимость подпоследовательности
к числу
.
Учитывая, что подпоследовательность
выбиралась произвольно, получаем
утверждение теоремы.
Однако не следует
думать, что если последовательность
не является сходящейся, то и ее
подпоследовательности не могут быть
сходящимися. Например, последовательность
не является сходящейся, но ее
подпоследовательности
и
сходятся соответственно к числам 1 и
–1.
Если последовательность
имеет подпоследовательность, сходящуюся
к некоторому числу
,
то это число с называют частичным
пределом для последовательности
.
Таким образом можно сказать, что
последовательность
имеет два частичных предела 1 и –1.
Из теоремы 3.11. следует, что сходящаяся последовательность всегда имеет только один частичный предел – это то число, к которому сходится последовательность. Если же последовательность имеет хотя бы два различных частичных предела, то можно утверждать, что такая последовательность не является сходящейся.
ЛЕММА (Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной последовательности всегда можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
(Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть
дана ограниченная последовательность
.
Значит
.
Разобьем отрезок
пополам и возьмем ту половину, в которой
содержится бесконечное число членов
данной последовательности. (Такая
половина обязательно существует, так
как число членов последовательности
бесконечно). Обозначим этот отрезок
.
Затем его разобьем пополам и возьмем
ту половину, в которой содержится
бесконечное число членов последовательности.
Обозначим этот отрезок
.
Далее, разбив
пополам и выбрав половину с бесконечным
числом членов последовательности,
получим отрезок
.
Продолжая этот процесс, в результате
получим последовательность вложенных
отрезков
;
;
;
...;
;
...
При этом длина
отрезка
равна
;
длина отрезка
равна
;
длина отрезка
равна
;
и так далее. Длина отрезка
равна
.
Легко видеть, что
.
Поэтому по лемме о вложенных отрезках
последовательности
и
сходятся к общему пределу – числу
.
Теперь покажем,
как можно выбрать из последовательности
сходящуюся подпоследовательность
.
В качестве
возьмем любой член последовательности
,
находящийся в
.
В качестве
берем любой член последовательности
,
находящийся в
.
В качестве
берем любой член последовательности
из
и так далее. В результате получим
последовательность
,
члены которой удовлетворяют условию
.
Учитывая, что
последовательности
и
сходятся к числу
,
по теореме о сжатой последовательности
заключаем, что последовательность
,
являющаяся подпоследовательностью для
,
сходится к числу
.