§7. Арифметические операции над пределами последовательностей.

ТЕОРЕМА 3.10. Если последовательности и сходятся к числам и соответственно, то:

1. Последовательность сходится к числу ;

2. Последовательность сходится к числу ;

3. Последовательность сходится к числу .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме о связи сходящейся последовательности, ее предела и бесконечно малой последовательности (теорема 3.6) мы можем записать:

,

где и – бесконечно малые последовательности.

Тогда

. (*)

По теореме 3.7. является бесконечно малой последовательностью. Поэтому на основании теоремы 3.6 из (*) делаем вывод о сходимости последовательности к числу . Аналогично устанавливается сходимость последовательности к числу . Рассмотрим последовательность .

. (**)

Так как является бесконечно малой последовательностью (см. замечание после теоремы 3.7), то на основании теоремы 3.6 из равенства (**) заключаем о сходимости последовательности к числу .

ТЕОРЕМА 3.11. Если последовательность сходится к числу ; последовательность сходится к числу , то последовательность сходится к числу .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что в условиях теоремы последовательность является ограниченной. По условию .

Пусть для определенности . Выберем произвольно так, чтобы и найдем для него , начиная с которого выполняется условие , или . Учитывая, что все части последнего неравенства положительны, запишем его в виде , который и показывает ограниченность последовательности .

Пусть далее ; , где и – бесконечно малые последовательности. Тогда

. (***)

Поскольку является бесконечно малой последовательностью, а – ограниченная последовательность, то правая часть равенства (***) является бесконечно малой последовательностью и, следовательно, по теореме 3.6 последовательность сходится к .

§8. Неопределенности. Сравнение бесконечно малых последовательностей.

Пусть имеем две бесконечно малые последовательности и . Составим новую последовательность и попытаемся найти ее предел. Легко видеть, что мы не можем использовать теорему 3.11, так как . Чтобы глубже вникнуть в суть проблемы, обратимся к примерам.

1. Пусть . Тогда .

2. Пусть . Тогда .

3. Пусть . Тогда . А этот предел не существует.

Рассмотренные примеры показывают, что на вопрос « Чему равен предел отношения двух бесконечно малых последовательностей?» определенного ответа дать нельзя. Поэтому предел отношения двух бесконечно малых последовательностей называют неопределенностью типа Вычисление подобных пределов называют раскрытием неопределенности, используя при этом различные специальные приемы.

Кроме неопределенности типа бывают и другие. Рассмотрим их.

Представим отношение двух бесконечно малых последовательностей и в следующем виде . Так как является бесконечно большой (см.теорему 3.8), то получаем неопределенность типа .

Отношение можно также представить в виде . Получим неопределенность типа .

Заметим, что неопределенность типа можно также представить следующим образом: . Получим неопределенность типа .

К неопределенностям также относятся выражения вида:

1. , где (неопределенность типа );

2. , где (неопределенность типа );

3. , где (неопределенность типа ).

Иногда приходится сравнивать между собой бесконечно малые (большие) последовательности. Пусть и – бесконечно малые последовательности. Если , то называют бесконечно малой последовательностью более высокого порядка по сравнению с . Этот факт обозначают символом и читают: есть о малое от .

Если , то . Если , то и называют бесконечно малыми последовательностями одного порядка. Этот факт обозначается символом и читается: есть О большое от . В частности, если , то и называются эквивалентными, и это обозначается символом  .

Зная связь бесконечно малых последовательностей с бесконечно большими (теорема 3.8), легко сравнить и бесконечно большие последовательности.