§6. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Определение 3.12. Последовательность называют бесконечно малой, если (т.е. если ).

ТЕОРЕМА 3.6. Чтобы последовательность сходилась к числу , необходимо и достаточно чтобы последовательность была бесконечно малой.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Пусть . Следовательно,

.

Но это и значит, что последовательность является бесконечно малой.

Достаточность. Пусть последовательность является бесконечно малой. Это значит, что . А поскольку условие равносильно условию , то получаем , что равносильно сходимости последовательности к числу .

ТЕОРЕМА 3.7. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и – бесконечно малые последовательности. Выберем произвольно и для числа найдем , начиная с которого будет выполняться неравенство . Для того же найдем , начиная с которого будет выполняться неравенство . Следовательно, выбрав , при всех будем иметь . Это и значит, что последовательность является бесконечно малой.

Замечание. Эту теорему можно обобщить на любое конечное число слагаемых. Например, для доказательства, что сумма трех бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью, достаточно дважды применить теорему 3.7.

ТЕОРЕМА 3.8. Если является бесконечно малой последовательностью, а – ограниченная последовательность, то есть бесконечно малая последовательность.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как – ограниченная последовательность, то

.

Пусть . Тогда . Выберем произвольно и для числа найдем номер такой, что . Тогда при всех получим  =  . Это и значит, что последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Последовательность , где некоторое число, называют постоянной. Все ее члены равны . Очевидно, что такая последовательность является ограниченной и сходящейся. Ее пределом является число : .

Следствие 1 Если – бесконечно малая последовательность, а – некоторое действительное число, то является бесконечно малой последовательностью.

Следствие 2 Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Следствие 3 Если – бесконечно малых последовательностей, а – действительные числа, то последовательность ( ) является бесконечно малой.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА этих следствий непосредственно вытекают из теорем 3.7 и 3.8.

Определение 3.13. Последовательность называют бесконечно большой, если , т.е. если

ТЕОРЕМА 3.9. Чтобы последовательность была бесконечно большой, необходимо и достаточно чтобы последовательность , где , была бесконечно малой.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Пусть – бесконечно большая последовательность. Значит . Записав неравенство в виде и, обозначив через , получаем, что при всех . Следовательно, – бесконечно малая последовательность.

Достаточность. Пусть последовательность , где , является бесконечно малой. Следовательно, . Обозначив через Е, получим определение того, что последовательность , где является бесконечно большой.