§4. Понятие предела числовой последовательности.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию последовательностей, приведенных в примерах предыдущего параграфа. Сделаем это двумя способами: на прямой и на плоскости. Получим

Проследим поведение членов этих последовательностей с возрастанием . В примере № 1 из рисунка видно, что члены последовательности с возрастанием уходят в бесконечность. В примере № 2 точки с возрастанием сгущаются (смотреть рисунок на прямой) и все ближе и ближе подходят к точке, изображающей число 1. Другими словами, разность с возрастанием неограниченно уменьшается. В таких случаях говорят, что последовательность сходится к 1, а число 1 называют пределом этой последовательности. В примере № 3 члены последовательности с возрастанием приближаются к нулю, то есть разность можно сделать как угодно малой, если взять достаточно большим число . Здесь последовательность сходится к нулю. В примере № 4 разность отрицательна при нечетных и положительна при четных . Поэтому неверно было бы сказать, что разность с возрастанием неограниченно уменьшается. Однако, интуитивно понятно, что нас интересует не сама разность, а расстояние от до нуля (т.е. модуль разности , который с возрастанием уменьшается. Здесь последовательность также как и в примере № 3 сходится к нулю.

Определение 3.10. Числовую последовательность называют сходящейся к числу , если для любого числа > 0 найдется номер N такой что при всех выполняется неравенство < . Число при этом называют пределом последовательности ( ) и обозначают символом

В символах математической логики определение того, что запишется так: .

Пользуясь этим определением, докажем, что число 1 является пределом последовательности .

Зададим произвольно > 0 и найдем номер N, начиная с которого выполняется неравенство .

Решим это неравенство относительно .

Если правая часть последнего неравенства неположительна (а это будет при ), то неравенство будет справедливо при всех . Значит если выбрать ,то N = 1. Если же взять , то в качестве N может служить натуральное число .

Было бы ошибочно думать, что подобные рассуждения можно провести, если вместо 1 взять какое-либо другое число. Покажем, например, что 1,1 не является пределом последовательности .

Зададим произвольно > 0 и рассмотрим неравенство .

Далее имеем .

Отсюда уже видно, что сделать левую часть меньше 0,1 мы не сможем при любых значениях . А значит, взяв , при всех получим .

Определение 3.11. Последовательность называется расходящейся к плюс (минус) бесконечности, если для любого числа Е найдется такой номер N, что при всех выполняется неравенство .

Обозначение: .

§5. Основные теоремы о пределе последовательности.

ТЕОРЕМА 3.1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что последовательность имеет более одного предела. Возьмем два из них и ( ). Рассмотрим число > 0. Для него из того, что найдем номер такой, что

. (1)

Для того же из того, что найдем номер такой, что

. (2)

Выберем теперь из и наибольшее, обозначив его через . Тогда, начиная с , будут выполняться неравенства (1) и (2) одновременно. Следовательно, при всех , больших или равных , будем иметь:

.

Таким образом, . Сократив в неравенстве на , получаем , что неверно. Значит наше предположение о существовании у последовательности более одного предела ошибочно.

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 3.2. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть последовательность сходится к числу . Выберем произвольно > 0. Найдем для него номер такой, что при всех будет выполняться неравенство . Следовательно, . Выбрав из чисел наибольшее и наименьшее, видим, что любой член последовательности лежит между ними, что и означает ограниченность этой последовательности.

ТЕОРЕМА 3.3. Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится (имеет предел).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности имеем возрастающую и ограниченную последовательность . Так как ограниченность последовательности означает ограниченность множества , то множество имеет точную верхнюю грань. Пусть . Докажем, что последовательность сходится к числу . Зададим произвольно > 0 и рассмотрим число . По теореме 2.4 утверждаем, что среди членов последовательности найдется такой что . Учитывая возрастание последовательности , мы получаем справедливость утверждения . С другой стороны, , поскольку при всех справедливо неравенство . Поэтому имеем: . Это и значит, что

Теперь легко понять, что если бы последовательность являлась убывающей, то .

Замечание. Легко видеть, что утверждение теоремы 3.3 останется справедливым, если строгую монотонность последовательности заменить нестрогой.

ТЕОРЕМА 3.4. Если последовательность сходится к числу , а последовательность сходится к числу и при этом , то .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что . Рассмотрим число . Для него и . Пусть . Тогда для всех будем иметь:

и .

Учитывая, что , получаем цепочку неравенств:

,

из которой вытекает , или , что равносильно утверждению 1< , которое неверно. Получили противоречие, которое и заставляет нас отказаться от предположения, что . Следовательно, . Теорема доказана.

Замечание. Если в условии теоремы заменить нестрогое неравенство на строгое неравенство , то заключение теоремы не изменится: по прежнему можно лишь утверждать, что , но не . Это наглядно иллюстрируется следующим примером. Пусть ; . Ясно, что при любом , но .

ТЕОРЕМА 3.5. Пусть даны три последовательности , и такие, что . Если , то .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зададим произвольно > 0 и найдем для него такие числа и , что и . Тогда

.

Отсюда получаем

.

Это и означает, что последовательность сходится к .