- •Основы математического анализа
- •Часть I
- •Введение
- •Глава 1 элементы математической логики. §1. Высказывания. Логические операции над высказываниями.
- •§2. Правила вывода.
- •§3. Предикаты. Кванторы.
- •Глава 2 действительные числа Введение
- •§1. Сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел.
- •§2. Действительные числа. Полнота множества действительных чисел.
- •§3. Числовые множества и их границы.
- •§4. Понятие об арифметических операциях над действительными числами.
- •§5. Модуль действительного числа и его свойства.
- •Глава 3 функции одной переменной. Предел функции. Непрерывность. §1. Понятие функции одной переменной. Обратная функция. Сложная функция.
- •§2. Элементарные функции. Свойства функций.
- •§3. Числовые последовательности.
- •§4. Понятие предела числовой последовательности.
- •§5. Основные теоремы о пределе последовательности.
- •§6. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •§7. Арифметические операции над пределами последовательностей.
- •Последовательность сходится к числу ;
- •Последовательность сходится к числу ;
- •Последовательность сходится к числу .
- •§8. Неопределенности. Сравнение бесконечно малых последовательностей.
- •§9. Лемма о вложенных отрезках.
- •§10. Подпоследовательности. Частичные пределы.
- •§11. Число e.
- •§12. Предел функции.
- •§13. Основные теоремы о пределе функции.
- •§14. Односторонние пределы функции.
- •§15. Понятие непрерывности функции в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •§16. Первый замечательный предел.
- •§17. Непрерывность элементарных функций.
- •§18. Некоторые пределы, связанные с показательной и логарифмической функциями.
- •§19. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва.
- •§20. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •1 Теорема Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена.
- •2 Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то среди всех ее значений есть наибольшее и наименьшее.
- •1 Теорема Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и на концах его принимает значения разных знаков, то внутри найдется точка такая, что .
- •2 Теорема Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и , то для любого числа между и найдется точка из такая, что .
- •§21. Равномерная непрерывность функций.
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
лицей №14 им. А.М. Кузьмина
В.С. Козадаев
Основы математического анализа
Часть I
Учебное пособие для учащихся физико-математических классов
ТАМБОВ 2012
Введение
Все существующие науки условно делят на три группы: естественные, гуманитарные и математические. Естественными называют науки, изучающие окружающий нас мир. К ним относятся: физика, химия, астрономия, биология и т.п. Гуманитарными называют науки, изучающие человеческое общество. К ним относятся: история, литература, философия, социология и т.п.
Математическую группу наук составляет всего одна наука – математика. В отличие от естественных и гуманитарных наук математика не изучает объективно существующую реальность, и в этом состоит ее специфика.
К сожалению, на сегодняшний день нет удовлетворительного ответа на вопрос «Что такое математика?». Это столь многогранное явление, что описать его кратко, выделив главное, пока не удалось. Обычно для начинающих изучать математику представление о ней пытаются дать через предмет с учетом целей изучения. Например, в философской литературе часто ссылаются на Ф.Энгельса, который в работе «Анти-Дюринг» писал, что «чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира». Это, конечно, правильно. В математике много задач порождено человеческой практикой, но считать приведенную цитату определением предмета математики нельзя хотя бы потому, что это неполно. Наряду с практическими задачами в математике существует много теорий, являющихся «вымыслом чистого разума». Достаточно привести в качестве примера геометрию Н.И.Лобачевского, которая родилась просто как другая логическая система.
Другой взгляд на предмет математики выражен в работе Н.Бурбаки «Архитектура математики». Авторы считают, что содержание математики как науки составляет изучение всевозможных математических структур, понимая под математической структурой множество произвольных объектов с заданной системой отношений между ними. Это также верно, но опять же неполно. В математике изучаются не только структуры, но и другие объекты, например, методы исследования.
Общепризнано, что математика как наука зародилась в древней Греции с появлением в ней абстрактных структур. До этого математика представляла собой просто совокупность математических фактов. Лишь греки сумели так организовать эти факты, что математика превратилась в логическую систему, в которой от исходных положений с помощью логических рассуждений, называемых доказательством, получали новые утверждения. Именно с появлением этой идеи и связывают зарождение математики как науки.
Одной из главных задач настоящего пособия является знакомство учащихся с новым для них взглядом на математику как на логическую систему посредством изучения основ математического анализа.
В истории развития математики обычно выделяют два основных периода: период элементарной математики (период изучения постоянных величин) и период современной (высшей) математики (период изучения переменных величин).
Активное изучение переменных величин началось с конца XVII века и привело к созданию И.Ньютоном и Г.Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления, составляющих основу обширного раздела современной математики, называемого математическим анализом. Как правило, переменные величины описывались с помощью функций. Поэтому важнейшими понятиями математического анализа являются понятия функции, предела функции, производной, интеграла и некоторых других.