3.3 Характеристики случайных величин

В большинстве случаев результат измерения содержит как систематическую, так и случайную составляющие погрешности. Систематическая погрешность измерений, как указывалось выше, может быть представлена двумя составляющими: с известным численным значением и случайной составляющей, численное значение которой во многих случаях определить невозможно. Влияние первой из них на точность эксперимента можно учесть введением соответствующих поправок; поэтому общая погрешность измерений будет определяться только случайной составляющей, расчет которой очень важен.

Случайная величина может быть дискретной и непрерывной. Непрерывная случайная величина принимает любые значения из интервала своего изменения, дискретная – только определенные значения. Пусть выполнена серия из экспериментов, при этом непрерывное случайное событие (результат какого-либо измерения) произошло раз. Отношение называют частотой события. При возрастании отношение принимает все более устойчивое значение, т. е. становится статистически устойчивым. Предел, к которому стремится отношение при неограниченном возрастании числа экспериментов , называют вероятностью случайного события :

.

Совокупность всех возможных значений случайной величины в рассматриваемых условиях представляет собой генеральную совокупность. Некоторая совокупность этих экспериментов, которая имеет место в действительных условиях, является выборкой. Число экспериментов, составляющих выборку, представляет ее объем.

Пусть при измерениях имеются только случайные погрешности. В этом случае результат измерения будет являться случайной величиной. При ограниченном числе измерений случайной величины результат выполненных измерений наглядно представляется в виде гистограммы.

Построение гистограммы выполняется так. Полученные результаты располагаются в виде ряда в порядке возрастания или убывания абсолютной величины и далее группируются по интервалам. Число интервалов определяется по приближенной формуле с округлением результата до ближайшего целого значения. Ширина интервала рассчитывается так: , где и – максимальное и минимальное значения полученных результатов.

На горизонтальной оси размечаются границы интервалов, и над каждым из них строится прямоугольник с основанием, равным ширине интервала , и высотой, равной отношению , где – число измерений, соответствующих данному интервалу (рис. 1). На гистограмме измеренные значения случайной величины более или менее симметрично группируются около некоторого среднего значения, причем большие отклонения от него встречаются реже, чем малые. Это обусловлено тем, что при совместном действии большого числа независимых факторов погрешности, вызываемые ими, имеют противоположные знаки и в общей погрешности компенсируются. Некомпенсируемая часть этих погрешностей в одинаковой степени может быть как положительной, так и отрицательной.

При ограниченном числе измерений выявить какие-либо закономерности на гистограмме затруднительно. Поэтому каждая гистограмма характеризует конкретную серию экспериментов. При увеличении их числа можно получить все более плавные графики, причем ордината аппроксимирующей линии будет стремиться к вероятности того, что измеренная величина будет находиться в соответствующем интервале.

Если одновременно с увеличением числа экспериментов уменьшить , а по оси ординат откладывать комплекс , то при вершины прямоугольников сольются в плавную линию, которая называется кривой распределения результатов экспериментов (см. рис. 1). Ордината этой кривой

представляет собой значение плотности распределения вероятностей случайной величины и характеризует вероятность того, что измеренная случайная величина находится в интервале от до . Математически это выражается так:

.

Если на горизонтальной оси выделить произвольный интервал , то площадь, заключенная под кривой в этом интервале (см. рис. 1), равна вероятности того, что измеренная величина находится в данном интервале (отсюда и название – плотность распределения вероятности). Математически это выражается следующим выражением:

.

Функция носит название функции распределения вероятностей случайной величины. С плотностью распределения вероятностей она связана дифференциальным равенством:

.

В отличие от гистограммы кривая распределения не зависит от числа экспериментов и ширины интервала. Она описывает не конкретную серию экспериментов, а совокупность бесконечного числа измерений данной величины данным методом. Кривая распределения наиболее полно отражает условия эксперимента и характеризует качество измерений. При выполнении отмеченных выше закономерностей в отношении частоты погрешностей противоположных знаков кривая распределения будет симметричной относительно истинного значения измеряемой величины .

Важной характеристикой случайной величины является ее математическое ожидание. Для непрерывной и дискретной случайной величин математическое ожидание определяется выражениями

,

где – объем выборки (число экспериментов).

Среднее арифметическое значение дискретной случайной величины характеризуется выражением

.

Математическое ожидание при одинаковой вероятности событий, равной , приближенно равно среднему арифметическому значению случайной величины, т. е. . При бесконечно большом числе измерений ( ) истинное значение измеряемой величины равно среднему арифметическому значению .

Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеяния ее относительно математического ожидания. Для непрерывной и дискретной случайной величин дисперсия определяется выражениями

.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют величину . Дисперсия отдельного измерения обозначается и рассчитывается по формуле ( )

,

где - число степеней свободы, характеризующее разность между числом выполненных измерений и числом наложенных на них связей.

Среднее квадратическое отклонение отдельного измерения определяется выражением

.

Для независимых случайных измерений одной и той же величины дисперсия средней арифметической величины в раз меньше дисперсии отдельного измерения, т. е. . Поэтому для уменьшения случайной ошибки при измерениях искомую величину определяют раз, минимально допустимое значение числа экспериментов составляет обычно 4…5.

В теории вероятностей и математической статистике пользуются несколькими законами распределения случайной величины. Наиболее часто используется нормальный закон Гаусса, плотность распределения вероятностей при котором определяется уравнением

,

где – истинное значение измеряемой величины.

Нормальное распределение имеет случайная величина, на которую одновременно влияет большое число случайных факторов, каждый из которых по своему значению не превышает заметно остальные.

Поскольку разница является абсолютной погрешностью измерения случайной величины , плотность распределения вероятностей и функция распределения погрешностей могут характеризоваться выражениями

;

.

Форма кривых и для нормального закона Гаусса изображены на рис. 2. Функция в точке имеет максимум, а точки являются точками ее перегиба. Если кривая имеет острый пик около точки , по обе стороны которого наблюдается резкий спад (линия 1 на рис. 2, а), то большие погрешности в эксперименте встречаются редко, а эксперимент отличается высокой точностью. Большая ширина пика (линия 2 на рис. 2, а) свидетельствует о наличии существенного влияния случайных факторов и низкой точности эксперимента. Площадь под кривой равна единице, что указывает на вероятность получения хоть какого-нибудь результата, имеющего случайную погрешность. Значения функций и приведены в приложении.

Рассмотрим произвольный интервал . Вероятность того, что случайная величина , имеющая нормальное распределение, измерена с погрешностью , будет определяться уравнением

.

Для численные значения вероятности равны соответственно . Интервал называется доверительным интервалом случайной погрешности, а величина , соответствующая этому интервалу, – доверительной вероятностью. Последняя характеризует вероятность того, что погрешность измерения случайной величины не превысит значения, равного . Точное значение случайной величины с вероятностью будет определяться равенством .

Таким образом, истинное значение случайной величины определяется как погрешностью, так и степенью его надежности. Величину в связи с этим называют уровнем значимости.

Для расчета доверительного интервала и доверительной вероятности случайной величины более удобно пользоваться не рассмотренным выше интегралом, а критерием Стьюдента (см. далее).

На практике часто пользуются также прямоугольным, или равномерным, распределением случайной величины. Такой закон используется при определении случайных погрешностей, связанных с округлением чисел, определении показаний измерительных средств, имеющих шкалу, и т. д.