3.7 Определение случайной составляющей погрешности измерений

Пусть все систематические погрешности выполненного измерения исключены и требуется найти его случайную составляющую. Общую последовательность определения этой погрешности можно представить следующим образом.

1. Рассчитывают среднее арифметическое значение измеренной величины .

2. Находят дисперсию отдельного измерения .

3. Определяют среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения .

4. Рассчитывают среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического значения .

5. Задаются значением доверительной вероятности . Для условия значимости при числе степеней свободы по таблице приложения находят значение критерия Стьюдента . Далее определяют интервал, в котором с вероятностью находится истинное значение измеренной величины:

.

6. Рассчитывают относительную погрешность измерения

.

Поскольку полученный результат может оказаться достаточно большим, проверяют его на грубую погрешность.

1. Проверка по критерию . Вычисляют значения критерия для каждого измерения, которое кажется подозрительным. По выбранным уровню значимости и определяют табличное значение критерия . Из сравнения вычисленного и табличного критериев и делается вывод, содержат ли подозрительные измерения грубые погрешности и могут ли они быть исключены из рассмотрения.

2. Проверка по критерию Стьюдента. Находится наибольшее отклонение от среднего значения . После его исключения вычисляют новое среднее значение , среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения и ее среднее значение, а также критерий Стьюдента. После чего делается вывод, содержат ли подозрительные измерения грубые погрешности и могут ли они быть исключены из рассмотрения.

При наличии грубой погрешности результат измерения, вызывающий сомнение, исключается и производится повторная обработка результатов измерений по такой же методике.

3.8 Определение погрешности косвенных измерений

При косвенных измерениях интересующая величина находится из уравнения

,

где – отдельные аргументы, определяемые в результате прямых измерений. В этом случае погрешность определения величины обусловлена погрешностями измерения отдельных составляющих данного уравнения.

Рассмотрим случай, когда погрешность, связанная с округлением чисел или приближенностью уравнения , отсутствует. Если погрешности прямых измерений по сравнению с измеряемыми величинами малы, то каждая составляющая погрешности может быть определена по формуле

,

которую можно использовать для расчёта случайных и систематических погрешностей; при этом доверительная вероятность, соответствующая величине , равна вероятности, с которой определена погрешность .

Относительная погрешность определяется выражением

,

а суммарная относительная и абсолютная погрешности – выражениями

;

,

где и – число составляющих погрешности с нормальным ( , ) и равномерным ( , ) законами распределения. Численное значение постоянной зависит от доверительной вероятности, с которой требуется определить значения и , а при – также и от значения . При постоянная . Доверительная вероятность и численно равна доверительной вероятности, при которой выбираются составляющие погрешности, имеющие нормальный закон распределения, а также постоянная .

Приведенные выражения для определения суммарных значений относительной и абсолютной погрешностей получены при допущении, что результирующая погрешность от составляющих с равномерным законом имеет нормальный закон распределения. Это допущение оправдывается при достаточно большом числе составляющих (практически при ).

Частные производные, входящие в выражение для определения , могут быть вычислены аналитически, а при сложном виде функции – приближенным методом. Ниже приведены формулы для расчета суммарной относительной погрешности определения некоторых функций: