25. Ряд Тейлора. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора.

Функция f(x) разлагается в степенной ряд в интервале (-R; R), если на этом интервале указанный ряд сходится и его сумма равна f(x).

f(x)= (*). Теорема: Если функция f(x) на интервале (-R; R) разлагается в степенной ряд (*), то это разложение единственно, т. е. коэффициенты ряда (*) определены однозначно. Доказательство: f(x)= ; x=0, то f(0)= f ‘(x)= при x=0

= f ‘(0). Аналогично =f ‘’(0)/ 2!, … , = / n!. Замечание: Если функция f(x) разложена в степенной ряд по степеням разности в интервале

( - R; + R), то коэффициенты определяются формулой . Рядом Тейлора функции f(x) относительно точки называется степенной ряд вида Теорема: Если на интервале ( - R; + R), где R>0 функция f(x) разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора функции f(x).

Для того, чтобы функцию f(x) можно было разложить в степенной ряд на интервале ( - R; + R) (т.е. чтобы f(x) можно было разложить в ряд Тейлора) необходимо и достаточно, чтобы на этом интервале f(x) имела все производные и в ее формуле Тейлора f(x)= , где - многочлен Тейлора; - остаточный член, причем lim =0.

26. Основные разложения в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.

, x(-1; 1) x(-; )

x[-1; 1]

Приложения степенных рядов:

1. приближенные вычисления с заданной точностью

2. приближенные вычисления интегралов

3. вычисление сумм числовых рядов

4. интегрирование дифференциальных уравнений.

27. Скалярное произведение функций. Норма функции. Ортогональные системы функций. Основная тригонометрическая система функций.

Ортогональные системы функций.

Ф-ия f(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, за исключением (может быть) конечного числа точек разрыва первого рода, т.е. точек устранимого разрыва и конечного скачка.

a b

Из того, что ф-ия кусочно-непрерывная следует, что

Множество кусочно-непрерывных на отрезке [a;b] ф-ий представляет собой векторное пространство.

Введём понятие скалярного произведения ф-ий.

Скалярным произведением двух ф-ий ,кусочно-непрерывных на [a;b] , называется следующее число:

Множество всех кусочно-непрерывных функций со скалярным произведением представляет собой Евклидово пространство (его называют )

Неотрицательное число называется нормой ф-ии

(конечная или бесконечная) называется ортогональной на [a;b], если все ф-ии этой системы попарно ортогональны на отрезке [a;b].

на отрезке[a;b] называется ортонормированной , если для всех ф-ий этой системы

Переход от ортогональной к ортонормированной:

Основная тригонометрическая система функций.

- основная тригонометрическая система.

Теорема: ОТС является ортогональной на любом отрезке длины 2L.

Док-во:

Ортогональные системы функций.

Ортог-е системы ф-ций	Отрезок ортогональности	Нормы элементов
1) ОТС
2)
3)
4)
5)
6)