17. Признак Даламбера

Теорема: Если сущ. предел n- и он равен l то

1) 1>l> сходится

2)при l>1 ряд расходится

3)при l=1 о сходимости ряда ничего нельзя сказать

Док-во:

18. Признак Коши.

1 0<l<l сходится

2)l>1 расходится

3)l=1 ничего нельзя сказать

Признаки используются только для исследования рядов с неотриц членами.

Док-во:

Док-во:

Док-во:

ч.т.д.

Формула Стирлинга

n!

19. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Теорема:признак Лейбница: Если убывая

1)

2) последовательность an монотонно убывает, то ряд

сходится при этом

Док-во:

n=2m

(S2m)-возраст. последов.

ограничена, сходится

Рассмотрим

Замечание:1)Признак Лейбница явл. достаточным услов.2) теорема остается справедливой в части сходимости если монот. послед. An выполняется с некоторого места.

20. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

Определение: Ряды содержат как положит та и отрицат члены, наз знакопеременными

Док-во:

Ряды с комплексными членами

Определение: Если сх. ряд , то ряд наз. абсолютно сходящимся Если ряд расходится, а исходный ряд

то сходится условно(неабсалютно)

Теорема: абсол. сход. ряда при любой перестановке его членов остается абсол. сход. и его сумма не изменяется.

Замечание: Утверждение теоремы справедливо для любого сход. знакопостоянного ряда. Условно сход ряды этим св-ом не обладают.

Теорема(Римана) Если дан ряд сходящийся условно, то каково бы ни было наперед заданное число А, можно так переставить члены ряда, что преобразованный ряд станет расходиться и будет иметь своей суммой А

21. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.

Рассмотрим

Определение: Рад вида наз. функциональным рядом. Если ряд сход. то значение наз. точкой сход. функционального ряда.

Мн-во всех точек сходимости фун. ряда наз областью сходимости.

- сумма функционального ряда

-n-ый остаток функц ряда

Сходимость функц ряда в каждой точке х принадлежащей области Д наз поточечной сходимостью.

Функциональный ряд наз абсолютно сходящийся на мн-ве Д, которое явл подмножеством Х, если в каждой точке мн-ва Д1 сход ряд

Равномерная сходимость функционального ряда

Определение: Функц ряд наз равномерно сходящимся к функции S(x) на D если для любого Е>0сущ номер N зависящий только от Е.

Определение: числовой ряд с неотриц членами наз мажорантой для функционального ряда если

1) для любого n

2)ряд сходится

Теорема: (признак Вейерштрасса) если у функционального ряда на мн-ве D сущ сходящаяся мажоранта, то функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно на мн-ве D.

Замечание: признак Вейерштрасса дает лишь достаточное условие равномерной и абсолютной сход функц ряда.