Продифф-ем

у_о.н ^/ = с₁^/ (x)y₁(x) + c₁(x)y₁^/ (x) + c₂^/ (x)y₂(x) + c₂(x)y₂^/ (x) =0

Предположим с₁^/(x)y₁(x) + c₂^/(x)y₂(x) =0 =>

=> у_о.н^/ = c₁(x)y₁^/(x) + c₂(x)y₂^/(x)

y_о.н^// = c₁^/ (x)y₁^/ (x) + c₁(x)y₁^// (x) + c₂^/ (x)y₂^/ (x) + c₂(x)y₂^// (x)

c₁^/ (x)y₁^/ (x) + c₁(x)y₁^// (x) + c₂^/ (x)y₂^/ (x) +c₂(x)y₂^// (x) +p₁(x)( c₁(x)y₁^/ (x) +

+ c₂(x)y₂^/ (x)) + p₂(x)( c₁(x)y₁(x) + c₂(x)y₂(x)) = f(x)

c₁(x)( y₁^// (x) + p₁(x)y₁^/ (x) + p₁(x)y₁(x)) +

=0

+ c₂(x)( y₂^// (x) + p₁(x)y₂^/ (x) + p₁(x)y₂(x))+c₁^/ (x) y₁^/ (x) + c₂^/ (x)y₂^/ (x)=f(x)

=0

c ₁^/ (x)y₁^/ (x) + c₂^/ (x)y₂^/ (x) = f(x)

c₁^/ (x)y₁(x) + c₁^/ (x)y₁(x) = 0

= W[y₁(x); y₂(x)] 0

т.е. ранг матр. системы = рангу расширенной матрицы; т.е система совместна – имеет единственное решение

c₁^/ (x) = φ₁(x), c₂^/ (x) = φ₂(x)

c₁(x) = ∫φ₁(x)dx + c₁, c₂(x) = ∫φ₂(x)dx + c₂

y_о.н = ( ∫φ₁(x)dx + c₁ ) y₁(x) + ( ∫φ₂(x)dx + c₂ ) y₂(x)

2. y^{( n)} + p₁ y^{( n -1)} + ... + p_n(x)y = f(x)

y^{( n)} + p₁ y^{( n -1)} + ... + p_n(x)y = 0

y₁(x), y₂(x) ... y_n(x) – фундаментальная система решений

c ₁^/ (x)y₁ (x) + c₂^/ (x)y₂ (x) + ... + c_n^/ (x)y_n (x)= 0

c₁^/ (x)y₁^/ (x) + c₂^/ (x)y₂^/ (x) + ... + c_n^/ (x)y_n^/ (x)= 0

c₁^/ (x)y₁ ^{( n -1)}(x) + c₂^/ (x)y₂ ^{( n -1)}(x) + ... + c_n^/ (x)y_n ^{( n -1)}(x)= f(x)

12. Лнду с постоянными коэфф. И правой частью спец. Вида.

L_n[y] = f(x)

L_n[y] = y⁽ⁿ⁾ + a₁y^{( n –1 )} + a₂y^{( n –2 )} + ...+ a_{n -1}y ^{– n} + a_ny

1. L_n[y] = P_m(x)e^{α x} , где P_m(x) – многочлен степени m

α – контрольное число α ЄR

1. α - не явл. корнем кратности К, тогда

у^* = a_m(x) e ^{α x}

2. α – корень характеристического ур-ия

у^* = x^k Q_m(x) e ^{α x}

2. L_n[y] = e ^{α x} (P_m(x)cosβx + Q_l (x)sinβx )

P_m(x) ,Q_l(x) – многочлены в степени m и l с действ. коэфф., причем, они могут быть просто числами или один из них = 0

1 . контрольное число не явл. корнем характеристического ур-ия

у^* = e ^{α x} (R_p(x)cosβx + S_p (x)sinβx )

R _p , S_p (x) от p = max

2 . контрольное число явл. корнем характеристического ур-ия

у^* = x^k e ^{α x} (R_p(x)cosβx + S_p (x)sinβx )

Явление резонанса

y^// + ω²y = αsinβt

y^// + ω²y = 0

λ² + ω² = 0

λ = +- i ω

y_o.o = c₁cos ωt + c₂sin ωt = Asin (ωt + δ)

1. β ≠ ω

у^* = Mcosβt + Nsinβt

у^{* /} = -Mβsinβt + Nβcosβt

у^{* //} = -Mβ² cosβt - Nβ²sinβt

-Mβ² cosβt - Nβ²sinβt + ω² Mcosβt + ω² Nsinβt = asinβt

cosβt : -M β² + M ω² = 0 M = 0

sinβt : -N β² + N ω² = a N = a / ( ω² - β² )

y_о.н. = A sin (ωt + δ) + a / ( ω² - β² ) sinβt

2. β = ω

у^* = t( Mcosβt + Nsinβt)

у^{* /} = Mcosβt + Nsinβt + t( -Mβsinβt + Nβcosβt)

у^{* //} = 2(-Mβsinβt + Nβcosβt ) + t( -Mβ² cosβt - Nβ²sinβt )

2(-Mωsinωt + Nωcosωt ) + t( -Mω²cosωt - Nω²sinωt ) + +ω²t(Mcosωt - Nsinωt) = asinωt

-2Mωsinωt + 2Nωcosωt = asinωt

sinωt : -2Mω = a => M = - a / 2ω

cosωt : 2Nω = 0 => N = 0

y^* = - (a / 2ω) tcosωt

y _о.н = A sin (ωt + δ) – (a / 2ωt)cosωt

13. Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия. Нормальные системы. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений, теорема существования и единственности ее решения. Метод исключения.

m

r (t) = (x(t), y(t), z(t))

m(d²r / dt²) =

m(d²x / dt²) = F_x(t,x,y,z,x ^/,y ^/,z ^/)

m(d²y / dt²) = F_y(t,x,y,z,x ^/,y ^/,z ^/) каноническая система

m(d²z / dt²) = F_z(t,x,y,z,x ^/,y ^/,z ^/) (2)

dx₁/dt = f₁( t,x₁,x₂,...,x_n )

dx₂/dt = f₂( t,x₁,x₂,...,x_n ) норм. система (1)

........ система порядка n

dx_n/dt = f_n( t,x₁,x₂,...,x_n )

1. -> (2)

dx/dt =u dy/dt = v dz/dt = ω

d u/dt = (1/m) F₁(t,x,y,z,u,v, ω)

dv/dt = (1/m) F₂(t,x,y,z,u,v, ω) (1^* )

dω/dt = (1/m) F₃(t,x,y,z,u,v, ω)

Частным случаем канонич. системы является дифф-ое ур-ие порядка n, разрешенное относительно старшей производной =>

• дифф-ое ур-ие порядка n эквивалентно (2).

Cовокупность n-ф-ий x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t) диффиренцируемых

на (a;b) назыв решением (2), если эти ф-ии обращают ур-ия (2) в тождество для любого t принадлеж. (a;b).

Задача нахождения ф-ии x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t), удовлетворяющая начальному условию х₁(t₀) = x₁⁰, х₂(t₀) = x₂⁰,..., х_n(t₀) = x_n⁰ (3) называется з. Коши.

Теорема (существование и единственность решения з. Коши )

Пусть задана норм. система дифф-ых ур-ий

d x _i / dt = f _i (t, x₁ ,..., x_n); i =1,2,...,n

и пусть f _i (t, x₁ ,..., x_n) ; определены в некоторой области D c Rⁿ⁺¹ , если существует окресность Ω точки M₀( t₀, x₁⁰, x₂⁰,..., x_n⁰) в которой ф-ии f _i непрерывны по совокупности аргументов и имеют огр. частную производную

df _i / dx _j ; i = 1,...,n; j = 1,...,n

то найдется интервал (t₀ – δ ; t₀ + δ) на котором существует решение (2) удовлетворяющее начальному условию (3)

Опр. : Совокупность n-дифф-ых по t ф-ий

x₁ = x₁ (t, c_{1 ,} c_{2 ,}..., c_n );

x₂ = x₂ (t, c_{1 ,} c_{2 ,}..., c_n );

.....

x_n = x_n (t, c_{1 ,} c_{2 ,}..., c_n )

называется общим решением (2), если в некоторой области Ω существование и единственность решения з. Коши пополняется след. условиями

1)x _i = x _i (t, c_{1 ,} c_{2 ,}..., c_n ) обрашают ур-ие (2) в тождество для любого c_{1 ,} c_{2 ,}..., c_n

2)x _i = x _i (t, c_{1 ,} c_{2 ,}..., c_n ) решают любую з. Коши в окресности Ω точки М₀.

Решения получающиеся из общего при конкретных постоянных c_{1 ,} c_{2 ,}..., c_n – частные решения

x₁ = x₁ (t, c_{1 ,} c_{2 ,}..., c_n );

x₂ = x₂ (t, c_{1 ,} c_{2 ,}..., c_n );

.....

x_n = x_n (t, c_{1 ,} c_{2 ,}..., c_n )

график частных решений представляет собой параметрически заданную кривую и называются интегральной кривой, тогда з.Коши

получает след геометрическую интерпритацию

• в Ω (t, c_{1 ,} c_{2 ,}..., c_n ) найти интегральную кривую проходящую через заданную точку М₀

Возможно о другое

x = ; F =

dx / dt = F(t, x) - динамическая система

t – время

x_n – координаты некоторой точки в n-мерном Евклидовом пространстве

dx / dt = F(x) - автономная

(x₁, x₂,..., x_n) – фазовое пространство

x = x(t) – фазовая траектория

n = 2

t

x₀ M₀(t₀, x₁⁰,x⁰₂)

интегральная кривая

х₂⁰ х₂

х₁ фазовая траектория