44. Ряд Лорана.

Опр.: Рядом Лорана с центром в т. z₀ называется

1. 0 < r <R

2. r = 0 0 < |z-z₀| <R

Круг с выколотым центром

Если главная часть отсутствует, то центр круга не выполняется

3. r > R



В кольце , где сходимость ряда Лорана равномерная 

Сумма сходящегося ряда Лорана есть функция аналитическая в

открытом кольце. Поэтому ряд Лорана можно интегрировать поч-

ленно по любому пути, расположенному в кольце и диферинциру-

емому почленно любое число раз.

Теорема:

- аналитическая в однозначно представлена в этом

кольце рядом Лорана

- однократно пробегаемая и расположенная строго в кольце

Доказательство

Проведём ещё 2 окружности

По интегральной формуле Коши:

z – вн. точка внутри кольца.

1)

Ряд сходится равномерно по  на окружности Г₁, поэтому его можно интегрировать почленно:

2)

Сходится равномерно по  на окружности Г₂

Контуры Г₁ и Г₂ можно заменить на общий контур

3) Пусть такое разложение не единственное

все остальные обратятся в 0

Замечание:

• Коэфф. С нельзя рассматривать как произведение, т.к. функция не аналитична внутри круга

• Ряд Тейлора представляет собой частный случай ряда Лорана, когда функция аналитична внутри круга

Раз функция аналитическая внутри круга, то можно рассматривать как производные

• 0 < |z-z₀| <R,

Границы кольца можно раздвинуть до ближайших особых точек

• Из доказанной единственности разложения в ряд Лорана следует, что найденные любым способом разложения функции по полож. и отрицат. степеням z – z₀ явл. лорановскими разложениями этой функции

45. Нули и изолированные особые точки.

Опр: т. называется нулем R-ого порядка аналитической функции f(z), если ( )= ( )=...= =0 , 0.

Вывод: если т. это ноль R-ого порядка, то в разложении в ряд Лорана данной функции в окружности т.z будут присутствовать только элементы правильной части , причем наименьшая степень правильной части будет совпадать с порядком нуля.

, , - аналитическая функция в окрестности т. z .

Классификация изолированных особых точек однозначна характера.

Опр: т. называется изолированной особой точкой функции если с исключенной т. в которой функция аналитическая.

Речь идет об окрестностях, в которых функция однозначна.

Аналитическую функцию мы можем разложить в ряд Лорана. При этом возможны случаи:

1.Ряд Лорана не содержит главной части = , где - устранимая особая точка функции.

2.Ряд Лорана содержит конечное число членов в главной части

=

3. Ряд Лорана содержит бесконечное число членов в главной части,

= ,где - существенно особая точка (СОТ).

Теорема 1: Для того чтобы т. является устранимой особой точкой аналитической необходимо и достаточно , чтобы .

Т2 Для того, чтобы Z₀ являлась полюсом аналитической f(z) необходимо и достаточно, чтобы

; ; ;

Т3 Для того, чтобы Z₀ являлась полюсом порядка m аналитической f(z) необходимо и достаточно, чтобы f(z) можно было представить в следующем виде:

, где φ(z) – аналитическая. Φ(z₀)≠0

, - пятого порядка.

,

Т4 Пусть Z₀ – изолированная особая точка , где и аналитические в т Z_0.

Пусть Z₀ –является ????? порядка k для

Пусть Z₀ – является ????? порядка l для

Если l>k, то Z₀ – полюс f(z) порядка m=l-k, если l<k, то Z₀ – УОТ f(z)

, - Z₀=0 полюс 1-го порядка.

, Z₀=0 – полюс 3-го порядка, Z₀- полюс порядка Z.

Т5 Для того чтобы Z₀ было СОТ аналитической f(z) необходимо и достаточно, что бы f(z) не имела предела ни конечного, ни бесконечного.

Пусть Z₀ – COT для f(z) , тогда для 1/f(z) Z₀ либо остаётся СОТ, либо она является неизолированной особой точкой.

1. f(z)=e^1/z =1+1/z+1/(2!z²)+… Z₀ =0 - СОТ

^{главная часть}

1/f(z)=e^-1/2 = 1-1/z+1/2!z² - … Z₀ =0 - СОТ

2. f(z)=sin(1/z)=1/z-1/!z³ +1/5!z⁵ - … Z₀ =0 – СОТ

1/f(z)=1/sin(1/z)

Z₀ =0 sin(1/z)=0

1/z=ПR, R

z=1/ПR - Z₀ =0 – неизолированная особая точка.