1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка, теорема существования и единственности ее решения. Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка, метод изоклин.

Осн. понятия.

О. Соотнош. F(x,y,y’,y’’,…y⁽ⁿ⁾)=0 связывающ. неизвестную, незав. переменную х, у=у(х) и ее производную наз. обыкновенным ДУ.

ДУ в кот. искомая переменная у зависит только от одной переменной х наз. обыкновенной. Порядком ду наз. наивысшый порядок производной искомой функции, входящим в уравнение. Решением ду n-ого порядка на инт.(а;b) наз. ф-ция у=у(х) определенная на (а;b) вместе со своими производными до n-ого порядка включительно.

y(x)€С⁽ⁿ⁾ (a;b) F(x,y(x),y’(x),y”(x),y⁽ⁿ⁾(x))≡0; x€(a;b). Если иск. ф-ция опред. неявно, соотношение (х,у)=0, то такое решение наз. интегралом ду. Процесс нахождения решения ду наз. интегралом этого ур-ния. График реш. наз. диф. кривой ду. Ду считается решенным если оно приведено к квадратурам (т.е. к операциям взятия интегралов).

Ду 1-ого порядка.

F(x,y,y’)=0; y’=f(x,y) – ур-ние, разрешенное относит. 1-ого порядка в диф.форме (1).

dy/dx=f(x,y), dy-f(x,y)dx=0, Q(x,y)0, P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Рассм. ур-ние (1) нач. условие у|_x=x0=y₀ или у(х₀)=у₀ интегр. крив. проход. через М₀(х₀,у₀) (2)

Задача отыскания реш. у(х) ур-ния (1), удовлетв. нач условию (2) наз задачей Коши или начальной задачей.

Задача Коши:

Т1 (сущ-ния и единственности решения ЗК): Пусть y=f(x,y) (1), где f(x,y) опред. В некот. области Д  R². Выберем точку М₀(x₀, y₀)  Д. Если  окр-сть  точки М₀, в кот. 1) f(x,y) непрерывна по совокупности переменных x, y; 2) ограничена, то найдется интервал (х₀-, х₀+), на котором  единств. решение ЗК.

Замечания: 1) Т1 носит локальный характер; 2) Т1 дает достаточное условие -ния единственности решения ЗК, это означает, что может  единств. решение ЗК, даже если в точке (x₀, y₀) невыполнимы условия теоремы. Из Т1 вытекает, что в области  ур-ние (1) имеет бесконечное мн-во решений. Решение ДУ предст. собой семейство решений y=(x, C), где С – произвол. постоянная. Общим решением ДУ y=f(x,y) в некот. области  -ния и един-сти решения ЗК называется однопараметрич. семейство S ф-ции вида y=(x, C), зависящих от х и С, такой что 1) при  допустим. значениях произвол. постоянной С y=(x, C)  S явл. решением ур-ния (1) на (х₀-, х₀+); 2) для  нач. условия у|_x=x0=y₀  такое единств. значение С₀ постоянной С, что решение y=(x, С₀) удовлетв. нач. условию (x₀, C₀)=y₀. Предполагается, что (x₀, y₀)  . Частным реше-нием ДУ (1) наз. решение, получаемое из общего решения при каком-либо конкретном значе-нии произвол. постоянной С (включая ). Часто общее решение можно получить только в неявном виде Ф(x, y, C)=0, в этом случае общее решение наз. общим интегра-лом. Частное решение в неявном виде Ф(x₀, y₀, C)=0 наз. частным интегралом. Если область  - открытое мн-во, то понятие общего решения может быть распространено и на замыкание мн-ва  ( =    ). На границе един-сть решения ЗК может быть нару-шена, т. е. помимо ф-ций семейства S могут  и другие решения ЗК. Решение y=(х) ДУ (1) наз. особым решением, если в каждой его точке нарушается св-во единственности, т.е. через каждую его точку проходит и другое решение ур-ния (1), не совпадающее с ним в сколь угодно малой окр-сти точки (x₀, y₀).

Метод изоклин. y=f(x,y) (1) – ур-ние определяет поле направленности. tg=f(x, y). Кривая, в каждой точке которой наклон поля, определяемый диф. ур-нием (1), один и тот же, наз. изоклиной этого ур-ния. Семейство изоклин задается ур-нием f(x,y)=k, где k – некот. числовой параметр.

2. Ур-ния с разделяющимися переменными. Особые решения.

Ур-ния с разделяющимися переменными.

P(x)dx+Q(y)dy=0 (1) – ур-ние с раздел. пер-ми.  P(x)dx+ Q(y)dy=С – особых решений нет

M₁(x)N₁(y)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0 (2); y=dy / dx=f₁(x)f₂(y) (3)

; - общий интеграл

dy / dt=ky – матем. модель динамики популяции; k=m-n, где m – коэф. относ-ти скорости рождаемости, n – -//- умирания; m=b₁-b₂y; n=b₃+b₄y; k= b₁-b₂y-b₃-b₄y=b₁-b₃-(b₂+b₄)y= =(b₂+b₄)((b₁-b₃) / (b₂+b₄)-y)= (A-y). dy / dt=(A-y) – логистическое ур-ние

y= ; C=1-A / y₀; y=

Особые решения.

M₁(x)N₁(y)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0; N₁(y)  0, M₂(x)  0; N₁(y) = 0; y=b

M₁(x)N₁(b)dx+M₂(x)N₂(b)db=0; M₂(x) = 0; x=a

Решения y=b и x=a могут быть получены при каких-либо произвол. значениях С (вкл. ). В противном случае – это особые решения. Других особых решений у ур-ний с раздел. пер-ми НЕТ. Мы должны искать точку (a, b), т.к. в этой точке поле направления неопределено. Геометрически, особому решению соотв. интегральная кривая, не содержащаяся в семействе интегральных кривых, составляющих общее решение. Ф(x,y,C)=0, y=f(x,y) – общий интеграл определяет однонаправленное семейство интегр. кривых. Огибающее семейство интегр. кривых предст. собой особое решение ДУ. Огибающая – это такая кривая, кот. в каждой точке касается хотя бы одной кривой семейства Ф(x,y,C)=0 и на наклонном участке не совпадает ни с одной кривой этого семейства.

3. Однородные ду 1-го порядка.

Ф-ция f(x,y) наз. однородной порядка  относит. x и y, если справедливо f(tx,ty)=t^f(x,y).

ДУ 1-го пор. P(x,y)dx+Q(x,y)=0 (1) наз. однородным ДУ 1-го пор., если P(x,y) и Q(x,y) – однородные ф-ции одного одного порядка. y= - - однород. ф-ция 0-го пор.

Ур-ние y=f(x,y) (2) наз. однородным ДУ 1-го пор., если f(x,y) однород. ф-ция 0-го пор.

4. Линейные ду 1-го пор.

Ур-ние вида y+p(x)y=q(x) (1) наз.линейным ДУ 1-го пор., если p(x) и q(x) непрерывны на (a, b). q(x)0, y+p(x)y=0 (2). Ур-ние вида (2) наз. ЛОДУ 1-го пор. Если q(x)0, то ур. (1) наз. ЛНДУ. Сущ. неск. методов решения ЛДУ 1-го пор.:

5. Уравнение Бернулли.

Метод Бернулли: y=u(x)v(x); y=u(x)v(x)+u(x)v(x) – подставим в (1);

uv+uv+p(x)uv=q(x); uv+u(v+p(x)v)=q(x); v+p(x)v=0; dv/v+p(x)dx=0; v(x) при С=1;

uv=q(x); u=u(x, C) – общ. решение; y=u(x, C)v(x).

yон=yчн+yоо – структура общего решения неоднород. ур-ния.

Метод Лагранжа (вариации произвол. постоянной): dy/y+p(x)dx=0; yоо=Ce ^{- p(x)dx}; yон=C(x)e ^{- p(x)dx} подст. в (1). Метод Лагранжа обобщается на ЛДУ высших порядков.

Замечание: Иногда ДУ явл. лин. относит. х как ф-ция у: х+p(у)х=q(у).

Ур-ние Бернулли.

ДУ вида y+p(x)y=q(x)у^, где R, 0, 1, наз. ур-нием Бернулли. Домножим ур-ние Бернулли на у ^{- }: у ^-y+p(x)у ^1-=q(x), z=у ^1-, z=(1-)у ^-у, z+(1-)p(x)z=(1-)q(x)– ЛУ

При >1, y=0 – частное решение, при 0<<1, у=0 – общее решение.

6. Ур-ния полных дифференциалов.

ДУ вида P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 (1), где (х, у)Д R² наз. ур-нием полных диф-ов, если его левая часть предст. собой полный дифференциал ф-ции u(x, y). Ур-ние (1) с непрерывными ф-циями P(x, y) и Q(x, y) в односвязной области Д R² явл. ур-нием полных диф-ов тогда и только тогда, когда .

7. Ду высших порядков. Задачи Коши для дифференциальных уравнений высших порядков, теорема существования и единственности ее решения. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

F(x, y, y,…, y⁽ⁿ⁾)=0 (1), y⁽ⁿ⁾=f(x, y, y,…, y^(n-1)) (2). Для выделения частного решения ДУ (2) надо задать n условий: у|_x=x0=y₀; у|_x=x0=y₀;…; у^(n-1)|_x=x0=y₀^(n-1) (3), где y₀, y₀,…, у^(n-1) - некот. числа.

Т (-ния и един-сти решения задачи Коши): Пусть задано ДУ вида (2). Если ф-ция f(x, y, y,…, y^(n-1)) непрерывна по сов-сти аргументов x, y, y,…, y^(n-1) в некот. окр-сти  точки М₀(x₀, y₀, y₀,…, y₀^(n-1)) Rⁿ⁺¹, то найдется такая окр-сть (х₀-, х₀+) оси Ох, на кот.  по крайней мере одно решение у=(х) ЗК.

Если кроме того ф-ция f(x, y, y,…, y^(n-1)) имеет огранич. частные производные , ,…, в указанной окр-сти , то решение будет единственным. Общим решением ДУ (2) в некот. обл-сти  -ния и един-сти решения ЗК наз. n-параметрич. семейство S ф-ций у=(х, С₁, С₂,…, С_n), зависящих от х и n произвол. постоянных С₁, С₂,…, С_n, такое что: 1) при любых допустим. значениях С₁, С₂,…, С_n ф-ция у=(х, С₁, С₂,…, С_n) явл. решением ДУ (2) на (х₀-, х₀+); 2)для любых нач. условий у|_x=x0=y₀; у|_x=x0=y₀;…; у^(n-1)|_x=x0=y₀^(n-1) (лишь бы точка М₀(x₀, y₀, y₀,…, y₀^(n-1)) ) можно так единств. образом подобрать значения С₁⁰, С₂⁰,…, С_n⁰, чтобы решение у=(х, С₁⁰, С₂⁰,…, С_n⁰) удовлетворяло этим заданным начальным условиям.

Если решение ДУ n-го пор. удается получить лишь в неявном виде Ф(х, С₁, С₂,…, С_n)=0, то оно наз. общим интегралом данного ур-ния. Решение ДУ, полученное из общего решения при конкр. значениях С₁, С₂,…, С_n наз. частным решением. Рассмотрим типы ур-ний, допускающих понижение порядка: 1. у⁽ⁿ⁾=f(х); 2. F(x, y^(k), y^(k+1),…, y⁽ⁿ⁾)=0; z=y^(k), z=y^(k+1),…, z^(n-k)=y⁽ⁿ⁾;F(x, z, z,…, z^(n-k))=0; 3. F(x, y,…, y⁽ⁿ⁾)=0; P(y)=y.

Линейные ДУ порядка n.

Ур-ние вида a₀(x)y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+…+a_n(x)y=f(x) (1) наз. ЛДУ порядка n. {/ a₀(x)0}

y⁽ⁿ⁾+р₁(x)y^(n-1)+…+р_n(x)y=q(x) (2). Если q(x)0 х(a, b), то такое ур-ние наз. однородным линейным ДУ, иначе неоднородным.

ЛОДУ порядка n.

y⁽ⁿ⁾+р₁(x)y^(n-1)+…+р_n(x)y=0 (3). L[y]=[ + р₁(x) +…+р_n(x)]y; L[y]=0;

L – линейный оператор, определенный на векторном прост-ве ф-ции у(х), непрерывной на (a, b) вместе со своими производными до порядка n включительно. 1) L[C y]=C L[y], C=const; 2) L[y₁+y₂]=L[y₁]+L[y₂].

Т1: если ф-ция y₀(х) явл. решением ЛОДУ L[y]=0, то Сy₀(х) также явл. решением этого ур-ния. Док-во: L[y₀]0, L[Cy₀]=CL[y₀]0 ч.т.д.

Т2: если ф-ции y₁(х) и y₂(х) явл. решениями ЛОДУ порядка n, то y₁(х)+y₂(х) тоже явл. решением этого ур-ния.

Следствие из Т1 и Т2: если y₁(х), y₂(х),…, y_m(х) явл. решениями L[y]=0, то С₁y₁(х)+С₂y₂(х)+…+С_my_m(х), где С – конст., тоже явл. решением.

у(х)0 х(a, b) – решение L[y]=0. Мн-во всех решений L[y]=0 образует линейное прост-во, нулем которого явл. ф-ция у(х)0.

Т3: если ЛОДУ L[y]=0 с действит. коэф-ми р_k(х), где k=1,…, n, имеет комплексное решение y(x)=u(x)+iv(x), то действит. часть u(x) и мнимая часть iv(x) тоже явл. решениями L[y]=0. Док-во: y(x)=u(x)+iv(x) – решение => L[u+iv]0, L[u+iv]=L[u]+iL[v] => L[u]=0 и L[v]=0 ч.т.д.

8. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Необходимое условие линейной зависимости функций. Критерий линейной независимости частных решений линейного однородного дифференциального уравнения.

Линейно зависимые и лин. независимые с-мы ф-ций.

С-ма ф-ций y₁(х), y₂(х),…, y_n(х) линейно зависима на (a, b), если  постоянные ₁, ₂,…, _n, такие что х(a, b) выполняется тождество ₁y₁(х)+₂y₂(х)+…+_ny_n(х)0, причем хотя бы одно из чисел  отлично от нуля. Если это тождество имеет место, когда ₁=₂=…=_n=0, то с-ма ф-ций y₁(х), y₂(х),…, y_n(х) наз. линейно независимой на (a, b).

Т4 (необх. условие линейной зависимости ф-ции): Если ф-ции y₁(х), y₂(х),…, y_n(х), имеющие производные до порядка (n-1) включит., линейно зависимы на (a, b), то на (a, b) определитель W(х) (опр-ль Вронского (вронскиан)) тождественно равен нулю.

W(х)= !!!!! Обратная теорема неверна !!!!!

Док-во: y₁(х), y₂(х),…, y_n(х) линейно зависима

y_n(х)=b₁y₁(х)+b₂y₂(х)+…+b_n-1y_n-1(х)

W(х)= =0 ч.т.д.

Следствие: если W(х)0, то с-ма ф-ций будет линейно независимой на (a, b).

Т5: для того, чтобы частные решения y₁(х), y₂(х),…, y_n(х) ЛОДУ L[y]=0 с непрерывными на (a, b) коэф-ми были линейно независимы на (a, b) необход. и достат., чтобы W(х)0 х(a, b).